Клетчатая решётка (координатная плоскость) и точки, отрезки, прямые на ней
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На координатной плоскости дан параллелограмм с вершинами в точках 
, 
и 
Найдите количество пар
точек 
и 
с целыми координатами, лежащих в этом параллелограмме (возможно, на границе) и таких, что
Источники:
Подсказка 1
Сначала может показаться, что задача какая-то жуть. Нужно находить количество пар точек, подходящие под какое-то странное условие... Но давайте понемногу "причёсывать" задачу и понимать, что от нас хотят. Попробуем хорошо преобразовать условие, данное на точки A и B. Какое действие хочется сделать, увидев в одной части координаты и точки A, и точки B?
Подсказка 2
Да, давайте перенесём координаты A в правую часть, а точки B — в левую. Число 33 тоже перенесём влево. Так как координаты у нас целые, то слева и справа получаются тоже какие-то целые значения. Пусть это будет целое число k. Что же теперь означает наше условие на координаты после того, как мы переписали их в удобном виде?
Подсказка 3
Верно, это две параллельные прямые, где вместо x и y мы подставляем координаты точек A и B. То есть мы можем записать уравнение прямых в общем виде с k. Что же нам теперь нужно сделать? Не забудем, что у нас есть ограничение на прямые самой границей параллелограмма. Идейная часть закончилась, теперь уже можно реализовывать техническую часть решения. Вспоминая вопрос задачи, что нам нужно теперь найти?
Подсказка 4
Верно, нам нужно найти в принципе количество целых точек x на прямых вида y=-3x+b. Это с помощью рассмотрения случаев, когда b делится на 3 и не делится, решается несложно(учитывая, конечно, снова ограничение по параллелограмму). Найдя уже до этого ограничения на k, остаётся только дело за комбинаторикой. То есть нам нужно для каждого k, выбрать на прямых нужные нам целые точки.
Запишем исходное условие на координаты точек 
и 
в виде
Так как координаты точек 
и 
являются целыми числами, то левая и правая части этого равенства могут принимать только целочисленные значения 
Пара точек 
и 
с целочисленными координатами удовлетворяет условию тогда и только тогда, когда они лежат на
параллельных прямых
соответственно. Найдём подходящие значения параметра 
Стороны 
и 
параллелограмма лежат на прямых
поэтому они параллельны прямым, на которых лежат точки 
и 
Эти прямые пересекают параллелограмм
при
![(
{ 0≤ k≤ 60
( ⇔ k∈[0;27]
0≤ k+ 33 ≤60](/api/latex-service/v1/GetSession/122726/index-37cce68f40446e8d32884ab3523b5923.svg) |
Выясним количество точек с целочисленными координатами на каждой из прямых вида
Рассмотрим несколько вариантов:
Если 
кратно трём (т.е. 
то получаем прямую
При любом целом 
получится целое значение 
а чтобы точка оказалась в параллелограмме нужно, чтобы
При любом 
этому неравенству удовлетворяет 
целых значений 
Если 
не делится на 3, т.е. при 
где 
имеем
Учитывая, что 
получаем
Значит, этому неравенству удовлетворяет 
целочисленных значений.
Если 
(таких значений 
то на каждой из двух прямых
можно выбрать по 
точек — всего 
пар.
Если 
(таких значений 
то на каждой из двух прямых можно выбрать по 
точек — имеем 
пар.
Итого получаем 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
