Клетчатая решётка (координатная плоскость) и точки, отрезки, прямые на ней
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все пары ненулевых (не обязательно положительных) рациональных чисел 
обладающие следующим свойством: любое
положительное рациональное число можно представить в виде 
с положительным рациональным 
Источники:
Подсказка 1
Давайте для начала причешем задачу. Если r - рациональное и положительное, то x,y - просто целые, так как можно построить явную биекцию между решениями при просто рациональных x,y и целых. Также, можно заметить, что если мы уберем целую часть числа r , то отношение из условия останется таким же, а значит, можно сказать, что 0 < r < 1 . А тогда можно сказать, что {(1 - r)x} = {-rx}, аналогично с y. Значит, можно считать, что y - натуральное, а х - целое. Значит, у нас, существенно, два случая - когда наша дробь - положительное число, и когда отрицательное. Попробуйте теперь найти такую дробь, которая не может быть представлена в таком виде как мы описали, и с теми условиями, которые мы доказали.
Подсказка 2
Сейчас будет приведено совсем не строгое, но тем не менее, наталкивающее на мысли, объяснение, почему нужно брать конкретную дробь, при разборе случая , когда дробь - положительное число. Давайте распишем {rx} как rx - [rx], {ry} как ry - [ry]. Тогда, для некоторого n/k = {rx}/{ry}, выполнено, что n*{ry} = k*{rx}. Значит, nry - n*[ry] = krx + k*[rx]. Что мы из этого можем получить? Если мы хотим прийти к противоречию, то можно попытаться взять какие - то k и n, такие, чтобы что-то в этом равенстве стало плохо. Сейчас целое число слева равно целому справа, а что можно подставить, чтобы слева, после преобразований, стало нецелое, а справа целое?
Подсказка 3
Возьмем n = x + 1, k = y. Тогда, во первых, сократятся rxy и rxy слева и справа, а в итого, останется уравнение {ry} = x * [ry] - y * [rx]. А значит, слева будет что - то между 0 и 1, а справа что-то целое. Пришли к противоречию. То есть, случай, когда дробь больше нуля разобран. Осталось подумать над случаем, когда наша дробь отрицательна. Можно попытаться найти контрпример, однако сразу непонятно как его строить, рассуждения из прошлого пункта непримиримы. Тогда скажем, что наша дробь равна некоторому a/b, где а - отрицательное и попытаемся доказать, что для любых а и b такое r найдется. И кажется, что в такой непонятной конструкции, как дробная часть, могут спасти только оценки значений. Попробуйте их применить(само собой, после избавления от знаменателей).
Подсказка 4
После избавления от знаменателей, у нас получается выражение brx - b*[rx] = ary - a[ry]. А значит, r - одно из решений уравнения r(bx - ay) = n, для некоторого целого n. При этом, мы можем сказать, что (без ограничения общности) х < 0, а значит, по нашим рассуждениям из первой подсказки, {rx} = 1 - {r|x|}. Подставьте это значение в наше уравнение и попробуйте подумать над максимальным и минимальным значением нецелое части.
Подсказка 5
Получим, что b = a{ry} + b{r|x|}. При r бесконечно близком к нулю, получается, что правая часть будет стремиться к нулю, что меньше b. При r бесконечно близким к 1, но меньшим ее, правая часть будет стремиться к a+b, что больше b. Значит, найдется промежуточное значение, при котором в нашем выражении будет достигаться равенство. А значит, для любой пары а и b из второго случая, мы привели пример. Значит, только для xy<0 выполнено требуемое.
Первое решение.
Разобьём плоскость на единичные квадраты линиями целочисленной решетки. Проведем прямую 
через начало координат 
и точку
Поскольку 
она имеет рациональный угловой коэффициент и проходит через какой-то узел решетки. Точка вида 
— это любая рациональная точка этой прямой. Проведем прямую через такую точку и левый нижний угол той клетки, в которую попала эта
точка. Угловой коэффициент этой прямой равен как раз 
Совместим между собой все единичные квадраты, в которых есть точки прямой 
В полученном квадрате прямая 
отобразится
конечным количество отрезков, параллельных исходной прямой.
Предположим, что 
и 
одного знака. Тогда полученные отрезки имеют положительный угловой коэффициент. Один из них выходит
из левого нижнего узла квадрата. Ясно, что из этого узла можно провести луч с положительным рациональным коэффициентом 
который пересечет верхнюю или нижнюю сторону квадрата, не встретив по дороге точек ни одного из наших отрезков. Это число 
нельзя
представить в нужном виде.
Пусть, наоборот, числа 
и 
разного знака. Тогда наши отрезки имеют отрицательный угловой коэффициент. Один из них выходит из
левого верхнего узла квадрата. Несложно понять, что один из этих отрезков соединяет точку на левой стороне квадрата с точкой на его
нижней стороне. На рациональных точках этого отрезка реализуются все возможные положительные рациональные угловые
коэффициенты!
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение.
Так как в качестве 
можно взять любое положительное рациональное число, можно считать, что числа 
и 
целые. В этом случае
замена числа 
на его дробную часть не изменит отношения 
значит, можно дополнительно считать, что 
Наконец, замена
r на 
соответствует смене знаков чисел 
и 
поскольку
Таким образом, достаточно рассмотреть лишь случай, когда 
— натуральное число.
Пусть 
также является натуральным числом. Покажем, что уравнение
не имеет решений относительно 
Домножив на знаменатели и выразив дробную часть через целую, получим уравнение
![y⋅rx− y⋅[rx]= x⋅ry− x ⋅[ry]+ {ry},](/api/latex-service/v1/GetSession/129243/index-133aa4c846cc84115eefe897ea14d8ab.svg)
или, что то же самое,
![{ry} =x ⋅[ry]− y⋅[rx].](/api/latex-service/v1/GetSession/129243/index-a10f264f70dba1fd9fe3b155b93c2eba.svg)
Но это уравнение не может иметь решений, поскольку левая часть положительна и меньше 
а правая часть целая. Следовательно, если
числа 
и 
одного знака, то требуемое 
не найдётся.
Пусть 
является отрицательным целым числом. Достаточно показать, что уравнение
для любых натуральных чисел 
и 
имеет вещественное решение 
Тогда
![b⋅rx− b⋅[rx]=a ⋅ry− a⋅[ry]](/api/latex-service/v1/GetSession/129243/index-a1a7f2e3a8b600ab38212723771eb043.svg)
и, значит, 
является решением линейного уравнения
для некоторого целого 
и, в частности, должно быть рациональным числом. Домножив уравнение 
на знаменатели и
воспользовавшись тем, что 
получим уравнение
При 
правая часть равна нулю и поэтому меньше левой. А при 
близких к 
обе дробные части также будут
близки к 
поэтому правая часть будет близка к 
и, в частности, будет больше левой. Следовательно, при некотором
промежуточном 
правая часть будет равна левой. Поэтому если числа 
и 
разных знаков, то требуемое 
обязательно
найдётся.
подходят все пары, в которых 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
