Клетчатая решётка (координатная плоскость) и точки, отрезки, прямые на ней
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Прямая 
на координатной плоскости не параллельна осям координат. При каком наименьшем 
можно утверждать, что расстояние от
некоторой точки с целыми координатами до прямой 
не превосходит 
Источники:
Подсказка 1
У нас есть прямая и координатные оси. На какой объект можно посмотреть, чтобы начать двигаться к оценке?)
Подсказка 2
Да, конечно! Давайте посмотрим на меньший угол из тех, которые составляет прямая с осями координат. Что можно про него сказать?
Подсказка 3
Верно! Он не превосходит 45°! (пусть этот угол α прямая составляет с осью абсцисс) Давайте теперь проведём прямые x=n и y=n для всех n∈ℤ. Мы хотим прийти к расстоянию от целой координаты.... Что будем делать?)
Подсказка 4
Да! Давайте посмотрим на один из единичных квадратов, на которые мы разбили плоскость. Как его пересекает прямая? Какой хороший объект появляется?
Подсказка 5:
Ага. Давайте посмотрим на прямоугольный треугольник, которые образуют стороны этого квадрата и прямая. Как тогда можно оценить расстояние от точки с целыми координатами (вершины при прямом угле) до нашей прямой?
Подсказка 6
Конечно! Катет не превосходит половины стороны квадрата, т.е. 1/2, а угол не больше 45°. Осталось выразить высоту через синус угла и катет и завершить оценку!
Прямая 
образует с одной из осей координат угол, не превосходящий 
поскольку сумма углов между прямой 
и осями координат
равна 
Пусть для определённости угол с осью абцисс не превосходит 
обозначим его через 
Нарисуем сетку,
образованную прямыми 
и 
при всех целых 
Она разбивает плоскость на единичные квадратики. Рассмотрим
квадратик, который пересекает прямая 
Тогда она пересекает одну из горизонтальных сторон. Их точка пересечения
делит сторону на две части. Рассмотрим меньшую из них, соответствующую ей вершину квадратика обозначим через
Тогда 
Расстояние от точки 
до прямой 
равно длине перпендикуляра, опущенного из точки 
на 
значит, оно равно
Легко видеть, что расстояние от любой точки с целыми координатами до прямой 
не меньше 
Этот пример подтверждает
точность полученной оценки.
при 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
