Клетчатая решётка (координатная плоскость) и точки, отрезки, прямые на ней

Прямая образует с одной из осей координат угол, не превосходящий поскольку сумма углов между прямой и осями координат равна Пусть для определённости угол с осью абцисс не превосходит обозначим его через Нарисуем сетку, образованную прямыми и при всех целых Она разбивает плоскость на единичные квадратики. Рассмотрим квадратик, который пересекает прямая Тогда она пересекает одну из горизонтальных сторон. Их точка пересечения делит сторону на две части. Рассмотрим меньшую из них, соответствующую ей вершину квадратика обозначим через

Тогда Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на значит, оно равно

Легко видеть, что расстояние от любой точки с целыми координатами до прямой не меньше Этот пример подтверждает точность полученной оценки.