Клетчатая решётка (координатная плоскость) и точки, отрезки, прямые на ней

Заметим, что какая-то прямая пересекает прямоугольник хотя бы по двум точкам. Тогда угловой коэффициент всех прямых рационален. Не нарушая общности, можно считать, что он положителен (иначе можно просто сделать симметрию относительно оси ординат). Пусть он равен где — натуральные числа, и Обозначим через количество прямых из нашего множества, которые пересекают прямоугольник ровно по целым точкам. Тогда нам известно, что Мы знаем, что Заметим, что если прямая проходит через целых точек прямоугольника, то она проходит ровно через пару соседних целых точек прямоугольника (то есть точек таких, что , ). Заметим, что всего таких пар точек в нашем прямоугольнике ровно (можно считать, что меньшая сторона прямоугольника параллельна оси ординат). Но с другой стороны из нашего наблюдения следует, что их ровно Тогда имеем равенства

вычитая равенства, получаем, что

откуда причем и Тогда возможны варианты или Тогда либо или По аналогичным соображениям мы знаем, что количество прямых в удачном множестве, перпендикулярном данному, равно Тогда в множестве может быть либо прямых, либо прямых.