Клетчатая решётка (координатная плоскость) и точки, отрезки, прямые на ней

Перенесём треугольник одной вершиной в начало координат. Тогда его можно представлять как точку , из которой выходят вектора и .

Тогда внутренность треугольника можно представить как где — действительные числа, и

Вопрос о целых точках на треугольнике, получается, стоит так: при каких целых система:

имеет решения , удовлетворяющие условиям выше.

Мы выделили внутренность, потому что стороны легче рассмотреть отдельно. Три целочисленные вершины лежат в треугольнике по определению. На сторонах точки подсчитать тоже просто — стороны это вектора и третья сторона . Получить целочисленную точку можно только на середине вектора , а у остальных сторон нет общих делителей координат, и через целые точки они не проходят. Значит, на периметре лежат точки.

Переходим к внутренней части треугольника. Конечно, нет гарантий, что там будет хотя бы одна целочисленная точка — но если такая есть, то её проекции на координатные плоскости тоже будут целочисленные. Поэтому давайте рассмотрим проекцию треугольника на плоскость , и отберём на ней потенциально подходящие пары а после выкинем лишние.

Проецируем треугольник на — получается треугольник на плоскости с вершинами Внутрь него точки попадут такие:

Решаем систему, состоящую из двух первых уравнений:

Получаем следующие решения:

Полученные значения подставляются в третье уравнение , и если оказывается целым — точка найдена. После подстановки получается выражение:

то есть должна быть чётной. Из кандидатов подойдут только .

Плюс точки на сторонах, и всего точек на треугольнике