Сложный вариант осеннего тура Турнира Городов

Первое решение. Случай очевиден. Иначе и различны, пусть Всего лягушка проигрывала путь, длина которого делится на и на а значит, и на так как и взаимно просты. Тогда длина пути равна для некоторого натурального и лягушка сделала «коротких» прыжков вправо и «длинных» прыжков влево.

Известно, что при взаимно простых и можно представить в виде с целыми и Это равенство, очевидно, сохранится, если одновременно увеличить (или уменьшить) на и на Поэтому можно выбрать натуральным и не превосходящим При этом будет неотрицательным (иначе и так как то (ведь Поэтому

Назовём каждую серию из последовательных прыжков лягушки окном. Условно считаем, что за последним прыжком лягушки идёт её первый прыжок (как при движении по кругу), поэтому окно может состоять и из нескольких последних и первых прыжков. Тогда всего окон ровно штук.

Надо найти окно, где лягушка сделала ровно коротких прыжков (и длинных) — тогда она сдвинется на за эти прыжков. Такое окно найдётся, если есть окно, где коротких прыжков не менее и окно, где их не более можно сдвигать первое окно по кругу, пока не дойдём до второго, число коротких прыжков в окне каждый раз меняется максимум на поэтому будет момент, когда оно равно

Сложим число коротких прыжков во всех окнах — получим ведь каждый прыжок учил раз. Окон и в среднем на окно придётся коротких прыжков. Это число равно

что больше и меньше Значит, найдётся окно, где коротких прыжков не менее и окно, где их не более

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Лягушку из условия назовём старой. Будем считать, что она пропрыгивает свою последовательность ходов бесконечное число раз по циклу. Посадим на прямую новую лягушку в точку и заставим её прыгать ту же последовательность прыжков, что прыгает старая (тоже в бесконечном цикле).

Множество чисел, посещённых новой лягушкой, получается из множества чисел, посещённых старой, сдвигом на Если хотя бы одно число из нового множества совпадет с числом из старого, то обратный сдвиг даст нам искомую пару чисел. Предположим, что этого не произойдёт.

Как и в предыдущем решении, представим число в виде для некоторых неотрицательных и Заставим старую лягушку пропрыгать ходов по её циклу; она окажется в точке где Так как разность координат новой и старой лягушек кратна

Далее пустим лягушек прыгать одновременно: старую по продолжению исходной траектории, а новую — по сдвинутой. На каждом шаге разность их координат будет либо не меняться (если они прыгают в одну сторону), либо меняться на (если одна прыгает на а другая на Таким образом, разность всегда будет оставаться кратной при этом она, по предположению, не может становиться нулевой, поэтому она всегда будет сохранять знак.

Пусть лягушки пропрыгали полный цикл и вернулись (новая в а старая в Количество ходов в цикле обозначим через Сумму всех чисел, посещённых новой лягушкой (без учёта начальной позиции), обозначим через а сумму чисел, посещённых старой, — через С одной стороны, числа на соответствующих ходах отличались не менее чем на причём разность всегда имела один и тот же знак, поэтому С другой стороны, набор чисел, посещённых новой лягушкой за цикл, отличается от аналогичного набора старой лягушки сдвигом на поэтому (отметим, что эти наборы могут содержать некоторые числа по несколько раз, если в течение цикла лягушка посещала их неоднократно). Подставляя и сокращая на получаем что противоречит условию задачи.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Третье решение. Как и в решении будем считать, что лягушка прыгает в бесконечном цикле. Также воспользуемся представлением для неотрицательных и сумму обозначив через

Через обозначим разность между положениями лягушки в момент (то есть через шагов после начала) и в момент Так как их разделяет шагов, то

Если равно то мы нашли искомые позиции. Предположим противное, пусть для всех Тогда все числа имеют вид для целых

Заметим, что разность между и определяется тем, какими были -й и -й шаги; разобрав случаи, нетрудно убедиться, что она равна или Это означает, что числа либо все меньше либо все больше

Рассмотрим позицию лягушки через шагов, где — количество шагов в её цикле. С одной стороны, она равна сумме которая по доказанному выше должна быть либо отрицательной, либо положительной. С другой стороны, через шагов лягушка вернётся на позицию Противоречие.