Сложный вариант осеннего тура Турнира Городов

Пусть — середина стороны , — точка касания вневписанной окружности для треугольника пересекается с в точке Воспользуемся фактом, что на прямой лежит диаметрально противоположная точке точка

Так как из перпендикулярности и хорошо известно, что то — средняя линия и При этом откуда — также средняя линия и параллельна откуда из условия задачи следует, что

В итоге имеем В силу перпендикулярности мы знаем, что Кроме того, по свойству ортоцентра тогда Так что — параллелограмм, поэтому

Замечание.

Равенство можно проверить чисто технически: пусть — высота тогда При этом