Тема . ТурГор (Турнир Городов)

Сложный вариант осеннего тура Турнира Городов

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела тургор (турнир городов)
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#40097

Последовательность определяется так: первые её члены равны 1,2,3,4,5.  Далее каждый следующий (начиная с 6  -го) равен произведению всех предыдущих членов минус 1.  Докажите, что сумма квадратов первых 70  членов последовательности равна их произведению.

Источники: Турнир городов - 1996, осенний тур, сложный вариант, 9.2

Показать доказательство

Пусть первоначальная последовательность была x ,n∈ ℕ.
 n  Введём новую последовательность y = x ⋅...x − (x2+ ...+ x2),
 n   1    n   1       n  посчитаем разность yn− yn+1  для n ≥5 :

                    2       2    2      2   2
yn− yn+1 = x1 ⋅...xn − (x1+ ...+ xn)+ (x1+...+xn +xn+1)− x1⋅...xn ⋅xn+1 =

           2
= xn+1+ 1+ xn+1 − (xn+1+1)xn+1 = 1

Тогда y   = yn− 1.
 n+1  Поскольку y = 5!− (12+ 22+ 32+ 42 +52)= 120− 55= 65,
 5  то y = y − 65=0,
70   5  что и требовалось.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!