Сложный вариант осеннего тура Турнира Городов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На сторонах 
и 
ромба 
отмечены точки 
и 
соответственно так, что 
Докажите, что точка пересечения
медиан треугольника 
лежит на диагонали 
ромба.
Источники:
Подсказка 1
Утверждение задачи очевидно в случае, если P совпадает с C или B. Каким способов можно обобщить данный факт, если знаем, что он верен в нужном количестве частных случаев?
Подсказка 2
Доказать задачу с помощью линейного движения. Достаточно показать, что точка пересечения медиан движется линейно при линейном движении точки P. Случаи для проверки, что прямая ее движения совпадает с BD мы уже нашли.
Подсказка 3
Понятно, что точки P и Q движутся линейно. Что в таком случае можно сказать, про середину их отрезка?
Подсказка 4
Она так же движется линейно. Как из этого следует линейность движения точки пересечения медиан?
Подсказка 5
Последняя лежит на отрезке, который соединяет данную середину с вершиной A, и делит его в фиксированном отношении 2 : 1, то есть так же движется линейно.
.png)
Первое решение. Пусть точки 
и 
будут двигаться линейно из точки 
в точку 
и из точки 
в точку 
с равными
скоростями. Тогда точка 
— середина отрезка 
также будет двигаться линейно. Значит, и точка 
делящая отрезок 
в
отношении 
к 
будет двигаться линейно. Следовательно, точка пересечения медиан треугольника 
движется линейно по
некоторой прямой 
Осталось показать, что 
Для этого достаточно найти два момента времени, когда точка пересечения медиан
лежит на 
Например, подойдут положения 
и 
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение. Расположим наш ромб на комплексной плоскости так, чтобы его центр попал в начало отсчета, вершина
— в точку 
вершина 
— в точку 
(этого можно добиться с помощью поворота, параллельного переноса и
гомотетии). Тогда вершины 
и 
попадут на вещественную ось, причем 
Пусть 
откуда 
Аналогично 
Координата точки пересения медиан треугольника 
может быть вычислена по формуле
Последнее выражение является чисто мнимым, а значит, лежит на прямой
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
