Сложный вариант весеннего тура Турнира Городов
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Взяли несколько положительных чисел и построили по ним такую последовательность: 
— сумма исходных чисел, 
— сумма квадратов
исходных чисел, 
— сумма кубов исходных чисел, и т.д.
(a) Могло ли случиться, что до 
последовательность убывает, а начиная с 
— возрастает?
(b) А могло ли случиться наоборот: до 
последовательность возрастает, а начиная с 
— убывает?
(a) Пример: возьмём одно число 
и 
чисел, равных 
Тогда
Пусть 
Тогда 
Из неравенства 
(равенство достигается при 
) следует, что 
минимально при 
то есть при 
При 
имеем 
и функция 
убывает при приближении 
к 
При 
имеем 
и функция возрастает. Следовательно,
(b) Предположим, что 
и далее 
Тогда 
— наибольший член последовательности, и для любого
выполняется
Пусть среди исходных чисел есть наибольшее 
Если 
то каждое слагаемое 
не растёт при увеличении 
и тогда вся сумма
не могла бы возрастать на начальном участке, что противоречит условию. Следовательно, 
но тогда для всех 
имеем
Поскольку 
последовательность 
неограниченно возрастает при 
Значит, и 
неограниченно возрастает, что
противоречит убыванию после 
Следовательно, такой случай невозможен.
(a) да; (b) нет
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
