Алгебраические текстовые задачи на устном туре Турнира Городов

Будем называть точку с рациональными координатами рациональной. Рассмотрим окружность . Докажем, что на ней существует сколь угодно много рациональных точек.

Рассмотрим прямую вида с рациональным . Она проходит через точку окружности, и вторая точка пересечения с окружностью тоже будет рациональной (поскольку квадратное уравнение с рациональными коэффициентами имеет рациональный корень 0 , второй корень также рационален).

Выбирая разные рациональные , отметим на окружности 2021 рациональную точку, включая точки . Через каждую из этих 2021 точек проведём касательную к окружности и отметим точки пересечения соседних касательных, получим описанный 2021-угольник (строго это можно обосновать, например, так: сначала получим описанный квадрат, проведя касательные в четырёх указанных точках, а затем по очереди проведём остальные касательные: каждая будет отсекать от уже имеющегося многоугольника треугольник, примыкающий к вершине).

Заметим, что уравнения касательных имеют рациональные координаты (поскольку касательные перпендикулярны прямым, соединяющим начало координат с рациональными точками касания). Точка пересечения прямых с рациональными координатами рациональна (как единственное решение системы линейных уравнений с рациональными коэффициентами). Значит, вершины нашего 2021-угольника рациональны. Приведём координаты вершин к общему знаменателю и рассмотрим гомотетию с центром в начале координат и коэффициентом . Она переведёт наш 2021-угольник в удовлетворяющий условию задачи.