Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела многочлены
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#121176

Для натуральных k= 1,2,3,...,p  найдите σ (1,2,...,p) (mod p).
 k

Показать ответ и решение

Заметим, что многочлен xp− x= (x − 1)...(x− p)  в 𝔽 .
 p  По теореме Виета коэффициенты этого многочлена — почти то же самое, что и симметрические многочлены от 1,2,...,p.  Тогда выходит, что σk(1,2,...,p)≡p 0,  если k⁄= p− 1  (так как все коэффициенты этого многочлена при степенях, отличных от 1  -ой и p− ой нулевые). Так как σp(x1,...,xp)= x1⋅...⋅xp,  то σp(1,...,p)= p!≡p 0.  Теперь найдем σp−1(1,...,p).  По теореме Виета

σp−1(1,...,p) =(−1)p−1 ⋅(−1)≡p (− 1)p ≡p −1
Ответ:

 0  при k⁄= p− 1  и − 1  при k =p− 1

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!