Тема . Многочлены

Многочлены над конечным полем

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела многочлены

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#97180

При каких натуральных $n$ многочлен $(x+1)n+ xn+ 1$ делится на $x2+x +1?$

Показать ответ и решение

Поскольку $x+ 1≡ −x2 (mod x2 +x +1),$ получаем

n n n2n 2 2 (x+ 1) +x +1 ≡(−1) x + x + 1 (mod x +x+ 1)

Заметим, что $x3 ≡ 1 (mod x2+x +1).$

Разберем все случаи

1.: $3|n.$ Тогда $n 2n 2 n 2 (−1) x +x + 1≡ (−1) +2 (mod x + x+ 1).$ Многочлен $n (−1) +2$ на $2 x + x+1,$ конечно, не делится.
2.: $n ≡1 (mod 6).$ Тогда $n 2n 2 2 2 (− 1) x + x +1 ≡−x +x+ 1≡ 2x+ 2 (mod x +x+ 1).$
3.: $n ≡2 (mod 6).$ Тогда $n 2n 2 2 2 (− 1) x + x +1 ≡x+ x + 1≡ 0 (mod x +x +1).$
4.: $n ≡4 (mod 6).$ Тогда $(− 1)nx2n+ x2 +1 ≡x2+ x+ 1≡ 0 (mod x2 +x +1).$
5.: $n ≡5 (mod 6).$ Тогда, $(−1)nx2n+ x2+ 1≡ x2− x +1≡ 2x+ 2 (mod x2+x +1).$

Таким образом, подходят только $n≡ 2,4 (mod 6).$

Ответ:

При $n= 6k± 2$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse