Тема №17. Четырёхугольники

01 Задачи №17 из банка ФИПИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №17. четырёхугольники

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#101778

Один из углов параллелограмма равен $61∘.$ Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

У параллелограмма есть две пары равных противоположных углов. Поэтому величина большего угла равна

360∘−-2⋅61∘- ∘ ∘ ∘ 2 =180 − 61 = 119 .

Ответ: 119

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#77258

Один из углов параллелограмма равен $96∘.$ Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Заметим, что сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180∘.$ Поэтому меньший угол равняется

180∘− 96∘ = 84∘.

Ответ: 84

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#122878

Диагональ $AC$ параллелограмма $ABCD$ образует с его сторонами углы, равные $∘ 25$ и $∘ 30 .$ Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Найдем угол $BAD :$

∘ ∘ ∘ ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 25 + 30 = 55

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то

∘ ∘ ∘ ∘ ∠ABC = 180 − ∠BAD = 180 − 55 = 125

То есть больший угол параллелограмма равен $125∘.$

Ответ: 125

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#104809

Диагональ $BD$ параллелограмма $ABCD$ образует с его сторонами углы, равные $∘ 50$ и $∘ 85 .$ Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Найдем угол $ABC :$

∘ ∘ ∘ ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 50 +85 = 135

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то

∘ ∘ ∘ ∘ ∠BAD = 180 − ∠ABC = 180 − 135 = 45

То есть меньший угол параллелограмма равен $45∘.$

Ответ: 45

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#77259

Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O,AC =20,BD = 26,AB = 8.$ Найдите $DO.$

$BCDAO$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Заметим, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Поэтому длина $DO$ составляет половину от длины $BD,$ а значит, равняется $26 :2 = 13.$

Ответ: 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#104810

Найдите острый угол параллелограмма $ABCD,$ если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $∘ 15 .$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть биссектрисса пересекает сторону $BC$ в точке $L.$ По условию $∘ ∠ALB = 15 .$ Так как $ABCD$ — параллелограмм, то прямые $BC$ и $AD$ параллельны, а значит,

∠LAD = ∠BLA = 15∘

$PIC$

Так как $AL$ — биссектриса, то искомый угол равен

∘ ∘ ∠BAD = 2∠LAD = 2⋅15 = 30.

Ответ: 30

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#45677

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

$351213$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к этому основанию. Основание параллелограмма равно $5+ 3= 8,$ высота равна 12, поэтому

S = 8⋅12= 96.

Ответ: 96

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#42337

Площадь параллелограмма равна 60, а две его стороны равны 4 и 20. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Площадь параллелограмма находится по формуле $S = ah,$ где $h$ — длина высоты в параллелограмме, $a$ — длина стороны, к которой проведена высота.

Найдем высоту, проведенную к меньшей стороне

S = ah 60 = 4⋅h 60 h = 4-= 15

Найдем высоту, проведенную к большей стороне

S = ah 60= 20⋅h 60 h= 20 = 3

В ответе необходимо указать большую высоту, то есть 15.

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#122882

Площадь параллелограмма равна 48, а две его стороны равны 8 и 16. Найдите его высоты. В ответе укажите меньшую высоту.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

$PIC$

Из этого следует, что площадь параллелограмма $ABCD$ равна:

SABCD = BH ⋅AD SABCD = BN ⋅CD

Подставим известные значения $SABCD = 48,$ $AD = 16,$ $CD = 8$ и выразим значения высот:

48 = BH ⋅16 48= BN ⋅8 BH = 3 BN = 6

Таким образом, меньшая высота равна 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#77261

Один из углов ромба равен $24∘.$ Найдите больший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Заметим, что сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180∘.$ Поэтому второй угол равняется

180∘− 24∘ =156∘.

Ответ: 156

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#122910

Один из углов ромба равен $93∘.$ Найдите меньший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

В ромбе противоположные углы равны, а соседние в сумме дают $180∘.$ Тогда соседний угол с углом в $93∘$ равен

180∘− 93∘ = 87∘.

Это и есть меньший угол ромба.

Ответ: 87

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#122877

В ромбе $ABCD$ угол $ABC$ равен $∘ 72.$ Найдите угол $ACD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как $ABCD$ — ромб, $AB =BC,$ то есть треугольник $ABC$ — равнобедренный. $∘ ∠ABC = 72,$ а значит

1 ∘ 180∘ − 72∘ 108∘ ∘ ∠BAC =∠BCA = 2 (180 − ∠ABC ) = ---2-----= -2--= 54

Так как в ромбе диагонали являются биссектрисами,

∠ACD = ∠ACB = 54∘.

Ответ: 54

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#42140

Периметр ромба равен 12, а один из углов равен $30∘.$ Найдите площадь ромба.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1.

Так как ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны, то длина его стороны равна $142= 3.$

Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними, значит,

S = 3⋅3⋅sin 30∘ = 9⋅ 1 =4,5 2

Способ 2.

Все четыре стороны ромба равны между собой. Тогда каждая из них равна $a = 12 :4= 3.$ Высота ромба $h$ равна

∘ 1 h= a sin30 = 3⋅2 = 1,5

$PIC$

Тогда площадь ромба можно вычислить по формуле площади параллелограмма:

S = ah= 3 ⋅1,5= 4,5

Ответ: 4,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#58602

Сторона ромба равна 14, а один из углов этого ромба равен $150∘.$ Найдите высоту этого ромба.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $∠ABC =150∘.$ Так как в параллелограмме сумма соседних углов равна $180∘,$ то

∠BAD =180∘− ∠ABC = 180∘ − 150∘ = 30∘

Рассмотрим треугольник $BAH.$ Он прямоугольный с $∠BAH = 30∘.$ Так как в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30∘,$ равен половине гипотенузы, то

BH = 1AB = 14-= 7 2 2

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#107209

Диагонали $AC$ и $BD$ прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O,$ $BO = 7,$ $AB = 6.$ Найдите $AC.$

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, то есть

BO =OD, AC = BD

Тогда длина диагонали $AC$ равна

AC =BD = BO + OD = 2BO = 2⋅7 =14.

Ответ: 14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#52697

Диагональ прямоугольника образует угол $63∘$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O.$

$PIC$

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Тогда треугольник $AOB$ — равнобедренный ( $AO = BO$ ), и $∠OAB = ∠OBA = 63∘.$

Тогда в треугольнике $AOB$ по теореме о сумме углов треугольника

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∠AOB = 180 − ∠OAB − ∠OBA = 180 − 63 − 63 = 54

Значит, острый угол между диагоналями прямоугольника равен $54∘.$

Ответ: 54

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#77262

Сторона квадрата равна $√- 4 2.$ Найдите диагональ этого квадрата.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Заметим, что диагональ с двумя сторонами квадрата образует равнобедренный прямоугольный треугольник. Поэтому длину диагонали $d$ можно найти по теореме Пифагора:

∘ (√--)2--(-√-)2- d= 4 2 + 4 2 = √------ √ -- = 32+ 32 = 64= 8.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#77266

Один из углов равнобедренной трапеции равен $66∘.$ Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Заметим, что сумма острого и тупого угла равнобедренной трапеции равна $180∘,$ как сумма односторонних углов при параллельных прямых. Поэтому больший угол трапеции равен

180∘− 66∘ =114∘.

Ответ: 114

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#122919

Один из углов равнобедренной трапеции равен $131∘.$ Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Заметим, что сумма острого и тупого угла равнобедренной трапеции равна $180∘,$ как сумма односторонних углов при параллельных прямых. Поэтому меньший угол трапеции равен