Тема 17. Четырёхугольники

17.01 Задачи №17 из банка ФИПИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела четырёхугольники

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1243

Один угол параллелограмма больше другого на $70∘.$ Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

В параллелограмме противоположные углы равны, а прилежащие к одной стороне в сумме дают $180∘.$ Следовательно, пусть $x$ — некоторый угол параллелограмма, тогда второй равен $x + 70∘.$ Так как они не могут быть противоположными, то они прилежащие к одной стороне, значит,

x+ x+ 70∘ = 180∘ ⇒ x= 55∘

Тогда больший угол параллелограмма равен

x + 70∘ =125∘

Ответ: 125

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#23883

Диагональ $BD$ параллелограмма $ABCD$ образует с его сторонами углы, равные $∘ 50$ и $∘ 85 .$ Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Найдем угол $ABC :$

∘ ∘ ∘ ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 50 +85 = 135

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то

∘ ∘ ∘ ∘ ∠BAD = 180 − ∠ABC = 180 − 135 = 45

То есть меньший угол параллелограмма равен $45∘.$

Ответ: 45

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#23884

Найдите острый угол параллелограмма $ABCD,$ если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $∘ 15 .$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть биссектрисса пересекает сторону $BC$ в точке $L.$ По условию $∘ ∠ALB = 15 .$ Так как $ABCD$ — параллелограмм, то прямые $BC$ и $AD$ параллельны, а значит,

∠LAD = ∠BLA = 15∘

$PIC$

Так как $AL$ — биссектриса, то искомый угол равен

∘ ∘ ∠BAD = 2∠LAD = 2⋅15 = 30

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#23888

Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O,$ $AC = 12,$ $BD =20,$ $AB = 7.$ Найдите $DO.$

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, то есть

1 BO = OD = 2BD

Тогда имеем:

DO = 1BD = 1 ⋅20= 10 2 2

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#45677

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

$351213$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к этому основанию. Основание параллелограмма равно $5+ 3= 8,$ высота равна 12, поэтому

S = 8⋅12= 96

Ответ: 96

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#22452

Площадь параллелограмма равна 16, а две его стороны равны 4 и 8. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

Площадь параллелограмма можно найти как произведение стороны и опущенной на нее высоты. Всего в параллелограмме две различных по длине высоты, найдем их:

SABCD =AB ⋅DH1 ⇔ DH1 = SABCD-= 16 = 2 AB 8

SABCD- 16 SABCD = AD ⋅CH2 ⇔ CH2 = AD = 4 = 4

Тогда большая высота равна 4.

Ответ: 4

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#23886

В ромбе $ABCD$ угол $ABC$ равен $∘ 72.$ Найдите угол $ACD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как $ABCD$ — ромб, $AB =BC,$ то есть треугольник $ABC$ — равнобедренный. $∘ ∠ABC = 72,$ а значит

1 ∘ 180∘ − 72∘ 108∘ ∘ ∠BAC =∠BCA = 2 (180 − ∠ABC ) = ---2-----= -2--= 54

Так как в ромбе диагонали являются биссектрисами,

∠ACD = ∠ACB = 54∘

Ответ: 54

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#23893

Сторона ромба равна 4, а один из углов этого ромба равен $∘ 150 .$ Найдите высоту этого ромба.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как один из углов ромба равен $∘ 150 ,$ то смежный ему угол равен

∘ ∘ ∘ 180 − 150 = 30

$PIC$

Далее, треугольник $ABH$ — прямоугольный, угол $∘ ∠BAH = 30 .$ Тогда катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы. Таким образом,

1 1 BH = 2AB = 2 ⋅4= 2

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#23887

Диагонали $AC$ и $BD$ прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O.$ Найдите $AC,$ если $BO = 7,$ $AB = 6.$

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, то есть

BO =OD, AC = BD

Тогда длина диагонали $AC$ равна

AC = BD = BO + OD = 2BO = 2⋅7 = 14

Ответ: 14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#23881

Диагональ прямоугольника образует угол $∘ 44$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как $ABCD$ — прямоугольник, то его диагонали точкой пересечения делятся пополам:

AO =BO = CO = DO

Значит, треугольник $DOC$ — равнобедренный и

∘ ∠OCD = ∠ODC = 44

$PIC$

Тогда один из углов между диагоналями равен

∠DOC = 180∘− ∠OCD − ∠ODC = = 180∘− 44∘− 44∘ = 92∘

При этом другой угол между диагоналями равен

180∘− 92∘ = 88∘

Таким образом, острый угол между диагоналями равен $∘ 88.$

Ответ: 88

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#23896

Сторона квадрата равна $√ - 10 2.$ Найдите диагональ этого квадрата.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $√ - a 2,$ т.е. при $√- a = 10 2$ диагональ равна

√ - √- 10 2⋅ 2 = 20

Ответ: 20

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#23889

Основания трапеции равны 3 и 9, а высота равна 5. Найдите среднюю линию этой трапеции.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть равна

1 12 2(3 +9)= 2-= 6

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#22460

Основания трапеции равны 5 и 9, а высота равна 2. Найдите площадь этой трапеции.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

Площадь трапеции можно найти по формуле

1 1 S = 2 (AD + BC )⋅BH = 2 (9+ 5)⋅2 = 14.

Ответ: 14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#23885

Сумма двух углов при основании равнобедренной трапеции равна $∘ 50 .$ Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как $ABCD$ — равнобокая трапеция, то

∘ ∠ABC + ∠DAB =180 ∠BAD = ∠CDA ∠ABC = ∠BCD

Таким образом, можем считать, что сумма углов $BAD$ и $CDA$ равна $50∘.$ Так как они равны, каждый из них равен $25∘.$

Тогда

∘ ∘ ∘ ∠BCD = ∠ABC = 180 − 25 = 155

Ответ: 155

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#23894

Один из углов прямоугольной трапеции равен $∘ 113 .$ Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180∘.$ Тогда если один из таких углов равен $113∘,$ то другой равен

180∘− 113∘ = 67∘

Оставшиеся два угла равны $90∘,$ так как трапеция прямоугольная. Тогда меньший угол равен $67∘.$

Ответ: 67

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#77268

В равнобедренной трапеции известна высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.

$3545∘$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведём вторую высоту в трапеции. Получим прямоугольник и два равнобедренных прямоугольных треугольника.

$3535545∘$

Таким образом, большее основание равно

b= 5+ 3+ 5 =13

Ответ: 13

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#55279

В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 6, а один из углов между боковой стороной и основанием равен $45∘.$ Найдите площадь этой трапеции.

$6245∘$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Площадь трапеции равна произведению высоты и полусуммы оснований.

Опустим высоты $BM$ и $CN.$

$PIC$

$∘ ∘ ∘ ∠BMN + ∠CNM = 90 +90 = 180 ,$ значит, $BM ∥ CN.$

Так как $BC ∥ MN$ и $BM ∥ CN,$ то $BCNM$ — параллелограмм, причём так как $∘ ∠BMN = 90 ,$ то $BCNM$ — прямоугольник. Тогда по свойству параллелограмма

MN = BC = 2

Рассмотрим треугольники $ABM$ и $DCN.$ Так как трапеция $ABCD$ равнобедренная, то $AB = CD$ и $∠BAM =∠CDN.$ Тогда прямоугольные треугольники $ABM$ и $DCN$ равны по острому углу и гипотенузе. Пусть $AM = DN =x.$ Тогда