Тема ШВБ (Шаг в будущее)

Последовательности и прогрессии на ШВБ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела швб (шаг в будущее)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#87804

Все члены бесконечной геометрической прогрессии являются натуральными числами. Сумма третьего, пятого и седьмого членов этой прогрессии равна $2016 819 ⋅6$ . Найдите знаменатель прогрессии.

Показать ответ и решение

Имеем геометрическую прогрессию $b ,b q,b q2,...,bqn−1,... 1 1 1 1$ причем $b qn−1 ∈ℕ 1$ для любого номера $n∈ ℕ$ . Таким образом, $b 1$ и $q$ являются натуральными числами. По условню $2016 b3 +b5+ b7 =819⋅6$ , или

2 4 6 2016 2018 2( 2 4) 2016 2018 b1q+ b1q +b1q =2 ⋅3 ⋅7⋅13, b1q 1+ q+ q = 2 ⋅3 ⋅7⋅13

Натуральное число $1 +q2+ q4$ при любом $q ∈ℕ$ есть нечетное число, следовательно, $1+ q2+ q4 = 3k⋅7l⋅13m$ , где $k ∈{0,1,...,2018}$ , a $l,m ∈ {0,1}$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1. Если $k = 0$ , то $2 4 l m 1+q + q = 7⋅13 ,l∈{0,1}$ .

а) При $l= 0$ получаем уравнение $2 4 m q +q = 13$ , которое не имеет натуральных решений (дискриминант $m D =1 +4⋅13$ равен 5 при $m = 0$ , и равен 53 при $m = 1$ .

б) При $l= 1$ и $m =0$ получаем уравнение $2 4 q + q − 7 =0$ , которое не имеет натуральных решений ( $D =29$ ).

в) При $l= 1$ и $m =1$ получаем уравнение:

q2+q4− 90= 0⇒ q2 = 9⇒ q = 3.

При этом $2016 b1 = 6$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Если $k = 1$ , то $2 4 l m 1+q + q = 3⋅7⋅13$ , где $l,m ∈ {0,1}$ .

a) При $l= 0$ и $m =0$ получаем уравнение:

q2+ q4 − 2 =0⇒ q2 =1 ⇒ q = 1.

При этом $2016 b1 = 6 ⋅3⋅91$ .

б) При $l= 0$ и $m =1$ получаем уравнение $2 4 q + q − 38= 0$ , которое не имеет натуральных решений $(D =153)$ .

в) При $l= 1$ и $m =0$ получаем уравнение:

q2+ q4− 20= 0⇒ q2 = 4⇒ q = 2

При этом $b1 = 22014⋅32017⋅13$ .

г) При $l= 1$ и $m= 1$ получаем уравнение:

q2+ q4 − 272= 0⇒ q2 = 16⇒ q = 4

При этом $2012 2017 b1 = 2 ⋅3$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Если $k ∈{2,...,2018}$ , а $l,m ∈ {0,1}$ , то $2 4 k l m 1+q + q = 3 ⋅7⋅13$ . Для полученного биквадратного уравнения

q2+q4+ 1− 3k⋅7l⋅13m =0

вычислим дискриминант:

( ) ( ) D =1 − 4 1− 3k⋅7l⋅13m =3 4⋅3k−1⋅7l⋅13m − 1 .

Поскольку при $k ∈{2,...,2018}$ и $l,m∈ {0,1}$ , число $4 ⋅3k−1⋅7l⋅13m$ делится на 3 , то $4⋅3k−1⋅7l⋅13m − 1$ не делится на 3, и $√-- D$ является иррациональным числом. Следовательно, уравнение

q2+q4+ 1− 3k⋅7l⋅13m =0

натуральных корней не имеет.

Ответ: Знаменатель может быть равен 1, 2, 3 или 4