Целые гауссовы числа

(a) Предположим противное, пусть где и — простые числа, отличные от делителей тогда То есть Нормы не равны значит но каждая из норм представляет из себя сумму квадратов двух целых чисел. Таким образом, но число не представимо в виде суммы квадратов, пришли к противоречию, что и требовалось.

(b) Подойдут и поскольку:

последнее сравнение верно по теореме Вильсона.

(c) Используем результат прошлого пункта, пусть и не делятся на тогда Если — простое гауссово число, то одна из скобочек правой части делится на него. Не умаляя общности, пусть кратно тогда Таким образом, противоречие.

В первом пункте мы поняли, что если число не простое, то оно представимо в виде суммы квадратов, но тогда

(d) Насчёт целых гауссовых чисел известно следующее, что и являются простым и что если норма гауссового числа проста в то само оно простое в

Пусть у гауссового числа либо вещественная, либо мнимая часть равна а другая равна составному числу или простому числу вида тогда оно, очевидно, не является простым.

Пусть у гауссового числа ненулевые вещественная и мнимая части, при этом норма не является простым числом, однако само оно — простое. Тогда число также простое. Но тогда норма раскладывается на простые множители, на которые выражение делиться не может, противоречие.