№16 из ЕГЭ 2024 —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#90005

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 419 375 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

Составим таблицу, обозначив сумма кредита за $S = 419375$ руб., за $x$ руб. — ежегодный платеж, а за $k = 1+ 21000-= 65$ — во сколько раз увеличивается долг после начисления процентов.

|----|----------------|------------------|------------| |Год | Д олг в руб. до| Долг в руб. после|Платёж в руб. |----|--начисления %---|---начисления %----|------------| |-1--|-------S--------|------2kS---------|-----x------| |-2--|---2-kS−-x------|---3-kS-−2-kx------|-----x------| |-3--|-3k-S−2kx-− x---|-4k-S-−3 k-x-−2 kx--|-----x------| --4---kS-−-k-x−-kx−-x--k-S−-k-x−-k-x−-kx-------x-------

Так как в конце четвертого года кредит погашен, то

k4S− k3x− k2x− kx= x ( 3 2 ) 4 x k + k + k+ 1 = k S k4−-1 4 x k− 1 = k S 4 k − 1 x = Sk k4−-1

Мы знаем, что $6 k = 5,$ $S = 419375.$ Тогда получаем, что

1 4-k−-1 64 --5--- 64 -53--- --64- x= Sk k4− 1 = S⋅54 ⋅64 =S ⋅54 ⋅ 64 − 54 = 419375⋅5 ⋅671 = 125⋅1296 = 162000 54 − 1

Заметим, что за четыре года банку выплачено $4x$ рублей, значит, сумма выплат составила $4⋅162000= 648000 рублей.$

Ответ: 648000

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#90006

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 177 120 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

Составим таблицу, обозначив сумму кредита за $S = 177120$ руб., за $x$ руб. — ежегодный платеж, а за $k = 1+ 21500-= 54$ — во сколько раз увеличивается долг после начисления процентов.

|----|----------------|------------------|------------| |Год | Д олг в руб. до| Долг в руб. после|Платёж в руб. |----|--начисления %---|---начисления %----|------------| |1---|-------S--------|------2kS---------|-----x------| |2---|---2-kS−-x------|---3-kS-−2-kx------|-----x------| |3---|-3k-S−2kx-− x---|-4k-S-−3 k-x-−2 kx--|-----x------| -4----kS-−-k-x−-kx−-x--k-S−-k-x−-k-x−-kx-------x-------

Так как в конце четвертого года кредит погашен, то

k4S− k3x− k2x− kx= x ( 3 2 ) 4 x k + k + k+ 1 = k S k4−-1 4 x k− 1 = k S 4 k − 1 x = Sk k4−-1

Мы знаем, что $5 k = 4,$ $S = 177120.$ Тогда получаем, что

4 k − 1 54 1 54 43 x = Sk k4−-1 =S ⋅44 ⋅-544-= S ⋅44 ⋅54−-44 = 44 − 1 4 =177120⋅--5-- = 120 ⋅625 =75000 4⋅369

Заметим, что за четыре года банку выплачено $4x$ рублей, значит, сумма выплат составила

4⋅75000 = 300000 рублей.

Ответ: 300000

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#90007

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 185 640 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

Составим таблицу, обозначив сумму кредита за $S = 185640$ руб., за $x$ руб. — ежегодный платеж, а за $k = 1+ 11000-= 1,1$ — во сколько раз увеличивается долг после начисления процентов.

|----|----------------|------------------|------------| |Год | Д олг в руб. до| Долг в руб. после|Платёж в руб. |----|--начисления %---|---начисления %----|------------| |1---|-------S--------|------2kS---------|-----x------| |2---|---2-kS−-x------|---3-kS-−2-kx------|-----x------| |3---|-3k-S−2kx-− x---|-4k-S-−3 k-x-−2 kx--|-----x------| -4----kS-−-k-x−-kx−-x--k-S−-k-x−-k-x−-kx-------x-------

Так как в конце четвертого года кредит погашен, то

k4S− k3x− k2x− kx= x ( 3 2 ) 4 x k + k + k+ 1 = k S k4−-1 4 x k− 1 = k S 4 k − 1 x = Sk k4−-1

Мы знаем, что $k = 1,1,$ $S = 185640.$ Тогда получаем, что

3 x = Sk4 k−4-1-= S ⋅1,14⋅-04,1---= S⋅1,14 ⋅--140--4-= k − 1 1,1 − 1 11 − 10 --114-- =185640⋅10⋅4641 =4 ⋅14641= 58564

Заметим, что за четыре года банку выплачено $4x$ рублей, значит, сумма выплат составила

4⋅58564 = 234256 рублей.

Ответ: 234256

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#90008

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 545 000 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 40% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

Составим таблицу, обозначив сумму кредита за $S = 545000$ руб., за $x$ руб. — ежегодный платеж, а за $k = 1+ 41000-= 1,4$ — во сколько раз увеличивается долг после начисления процентов.

|Год-|Д-олг в-руб.-до|Д-олг в руб.-после|Платёж-в руб. |---|-начисления-%-|--начисления-%---|-------------| |1--|------S------|-------kS-------|-----x-------| |2--|----kS−-x----|----k2S−-kx-----|-----x-------| -3----k2S-− kx-−-x---k3S-−-k2x−-kx--------x-------

Так как в конце третьего года кредит будет погашен, то

k3S − k2x − kx = x ( 2 ) 3 x k + k+ 1 = k S k3−-1 3 x k− 1 = k S k − 1 x = Sk3k3−-1

Мы знаем, что $k = 1,4,$ $S = 545000.$ Тогда получаем, что

3 x = Sk3 k3− 1-= S ⋅1,43⋅-03,4--= S⋅ 143 ⋅-4300-3-= k − 1 1,4 − 1 10 14 − 10 =S ⋅143⋅---4---= 545000 ⋅143 ⋅-1--= 125⋅143 = 703 =343000 10⋅1744 4360

Заметим, что за три года банку заплатили $3x$ рублей, значит, сумма, выплаченная банку, составила

3⋅343000 = 1029000 рублей.

Ответ: 1029000

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#90042

В июле 2026 года планируется взять кредит на 3 года в размере 800 000 рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе 2027 и 2028 годов долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

— в январе 2029 года долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

Составим таблицу, обозначив сумму кредита за $S = 800000$ руб., за $x$ руб. — ежегодный платеж. В первые два года долг увеличивался в $1 + 11000 = 1,1$ раза, а в третий — в $1 + 21000 = 1,2$ раза.

|Год-|Д-олг в-руб.-до|Д-олг в руб.-после|Платёж-в руб. |---|-начисления-%-|--начисления-%---|-------------| |1--|------S------|------1,1S-------|-----x-------| |2--|---1,1S-−-x---|---1(,12S−-1,1x--)-|-----x-------| -3-----1,12S−-2,1x----1,2-1,12S-−-2,1x--------x-------

Так как в конце третьего года кредит будет погашен, то

( ) 1,2 1,12S − 2,1x = x 2 1,2⋅1,1 S = x +1,2⋅2,1x 3,52x = 1,2⋅1,12S x = 1,2-⋅1,12S 3,52

Мы знаем, что $S = 800000.$ Тогда получаем, что

x = 1,2⋅1,12S = 12⋅11S = 3,52 320 3⋅11 = 80 ⋅800000= 33⋅10000= 330000

Заметим, что за три года банку заплатили $3x$ рублей, значит, сумма, выплаченная банку, составила

3 ⋅330000= 990000 рублей.

Ответ: 990000

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#90043

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита должна быть на 65 500 рублей больше суммы, взятой кредита?

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

Составим таблицу, обозначив за $S$ руб. сумму кредита, за $x$ руб. — ежегодный платеж, а за $k =1 + 21050 = 54$ — во сколько раз увеличивается долг после начисления процентов.

|Год-|Д-олг в-руб.-до|Д-олг в руб.-после|Платёж-в руб. |---|-начисления-%-|--начисления-%---|-------------| |-1-|------S------|-------kS-------|-----x-------| |-2-|----kS−-x----|----k2S−-kx-----|-----x-------| --3---k2S-− kx-−-x---k3S-−-k2x−-kx--------x-------

Так как в конце третьего года кредит будет погашен, то

k3S − k2x − kx = x ( 2 ) 3 x k + k+ 1 = k S k3−-1 3 x k− 1 = k S k − 1 x = Sk3k3−-1 3x = 3Sk3 k3− 1 k − 1

Мы знаем, что $k = 5. 4$ Преобразуем правую часть:

3 k − 1 53 1 3Sk k3−-1 =3S ⋅43 ⋅(-5)43-- = 4 − 1 53 --42-- 375- =3S ⋅43 ⋅53− 43 = 244 S

Заметим, что за три года банку заплатили $3x$ рублей, тогда $3x =S + 65500.$ Подставим это в выражение для $3x :$

S +65500= 375S 244 65500 = 131-S 244 S = 65500-⋅244- 131 S = 122000

Ответ: 122000

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#90044

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита должна быть на 77 200 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

Составим таблицу, обозначив за $S$ руб. сумму кредита, за $x$ руб. — ежегодный платеж, а за $k =1 + 21000 = 65$ — во сколько раз увеличивается долг после начисления процентов.

|Год-|Д-олг в-руб.-до|Д-олг в руб.-после|Платёж-в руб. |---|-начисления-%-|--начисления-%---|-------------| |-1-|------S------|-------kS-------|-----x-------| |-2-|----kS−-x----|----k2S−-kx-----|-----x-------| --3---k2S-− kx-−-x---k3S-−-k2x−-kx--------x-------

Так как в конце третьего года кредит будет погашен, то

k3S − k2x − kx = x ( 2 ) 3 x k + k+ 1 = k S k3−-1 3 x k− 1 = k S k − 1 x = Sk3k3−-1 3x = 3Sk3 k3− 1 k − 1

Мы знаем, что $k = 6. 5$ Преобразуем правую часть:

3 k − 1 63 1 3Sk k3−-1 =3S ⋅53 ⋅(-6)53-- = 5 − 1 =3S ⋅ 63⋅-52-- = 648-S 53 63− 53 455

Заметим, что за три года банку заплатили $3x$ рублей, тогда $3x =S + 77200.$ Подставим это в выражение для $3x :$

S +77200= 644585S 77200 = 193-S 455 S = 77200-⋅455- 193 S = 182000

Ответ: 182000

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#90045

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита должна быть на 40 980 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

Составим таблицу, обозначив за $S$ руб. сумму кредита, за $x$ руб. — ежегодный платеж, а за $k =1 + 11000 = 1,1$ — во сколько раз увеличивается долг после начисления процентов.

|Год-|Д-олг в-руб.-до|Д-олг в руб.-после|Платёж-в руб. |---|-начисления-%-|--начисления-%---|-------------| |-1-|------S------|-------kS-------|-----x-------| |-2-|----kS−-x----|----k2S−-kx-----|-----x-------| --3---k2S-− kx-−-x---k3S-−-k2x−-kx--------x-------

Так как в конце третьего года кредит будет погашен, то

k3S − k2x − kx = x ( 2 ) 3 x k + k+ 1 = k S k3−-1 3 x k− 1 = k S k − 1 x = Sk3k3−-1 3x = 3Sk3 k3− 1 k − 1

Мы знаем, что $k = 1,1.$ Преобразуем правую часть:

3Sk3 k3− 1-= 3S ⋅1,13⋅-0,13---= k − 1 (1,1) − 1 = S ⋅ 3⋅1,331⋅0,1= 3993S 0,331 3310

Заметим, что за три года банку заплатили $3x$ рублей, тогда $3x =S + 40980.$ Подставим это в выражение для $3x :$

S+ 40980 = 3993S 3310 40980= -683-S 3310 S = 40980⋅3310 683 S = 198600

Ответ: 198600

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#90046

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в кредит в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после погашения кредита должна быть на 104 800 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

Составим таблицу, обозначив за $S$ руб. сумму кредита, за $x$ руб. — ежегодный платеж, а за $k =1 + 21050 = 54$ — во сколько раз увеличивается долг после начисления процентов.

|Год-|Д-олг в-руб.-до|Д-олг в руб.-после|Платёж-в руб. |---|-начисления-%-|--начисления-%---|-------------| |-1-|------S------|-------kS-------|-----x-------| |-2-|----kS−-x----|----k2S−-kx-----|-----x-------| --3---k2S-− kx-−-x---k3S-−-k2x−-kx--------x-------

Так как в конце третьего года кредит будет погашен, то

k3S − k2x − kx = x ( 2 ) 3 x k + k+ 1 = k S k3−-1 3 x k− 1 = k S k − 1 x = Sk3k3−-1 3x = 3Sk3 k3− 1 k − 1

Мы знаем, что $k = 5. 4$ Преобразуем правую часть:

3 k − 1 53 1 3Sk k3−-1 =3S ⋅43 ⋅(-5)43-- = 4 − 1 53 --42-- 375- =3S ⋅43 ⋅53− 43 = 244 S

Заметим, что за три года банку заплатили $3x$ рублей, тогда $3x =S + 104800.$ Подставим это в выражение для $3x :$

S+ 104800 = 375S 244 104800= 131S 244 S = 104800⋅244 131 S = 195200

Ответ: 195200

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#90047

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и общая сумма платежей составит 375 000 рублей.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

Составим таблицу, обозначив сумму кредита за $S$ руб., за $x$ руб. — ежегодный платеж, а за $k =1 + 21050 = 54$ — во сколько раз увеличивается долг после начисления процентов.

|----|----------------|------------------|------------| |Год | Д олг в руб. до| Долг в руб. после|Платёж в руб. |----|--начисления %---|---начисления %----|------------| |1---|-------S--------|------2kS---------|-----x------| |2---|---2-kS−-x------|---3-kS-−2-kx------|-----x------| |3---|-3k-S−2kx-− x---|-4k-S-−3 k-x-−2 kx--|-----x------| -4----kS-−-k-x−-kx−-x--k-S−-k-x−-k-x−-kx-------x-------

Так как в конце четвертого года кредит погашен, то

k4S− k3x− k2x− kx= x

Это уравнение преобразуется в уравнение вида:

( 3 2 ) 4 x k + k + k+ 1 = k S k4− 1 x k−-1-= k4S ( 4 ) S = x⋅-k-−-1- k4⋅(k − 1)

По условию $4x= 375000,$ откуда получаем, что $x= 93750.$

Мы знаем, что $k = 5, 4$ $x = 93750.$ Тогда получаем, что

4 x⋅(k4− 1) 44 54 − 1 44 54− 44 S = k4⋅(k−-1) = x⋅ 54-⋅4-1--= x⋅54 ⋅--43---= 4 4⋅369 = 93750⋅--54- = 150 ⋅4 ⋅369 = 221400

Ответ: 221400

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#90048

В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 720 тыс. руб. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– в июле 2027, 2028, 2029 годов долг остается равным 720 тыс. руб.

– выплаты в 2030 и 2031 годах равны.

– к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму платежей за пять лет.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дагестан

Показать ответ и решение

Каждый год сумма кредита увеличивается на 25%, то есть в $1 + 21050 = 1,25$ раза.

Составим таблицу, обозначив сумму кредита за $S = 720000$ рублей. В первые 3 года заёмщик выплачивает только начисленные проценты, то есть по $0,25S$ рублей. Платежи в 4 и 5 года равны, обозначим их за $x$ рублей.

|----|----------------|------------|------------------| | Год |Д олг в руб. после|Платёж в руб. Д олг в руб. после |-1--|--начи1сл,е2н5Sия-%---|---0,25S----|-----платSежа------| |-2--|-----1,25S-------|---0,25S----|--------S---------| |-3--|-----1,25S-------|---0,25S----|--------S---------| |-4--|-----1,25S-------|-----x------|-----1,25S-− x-----| |-5--|-(1,25S−-x)⋅1,25--|-----x------|(1,25S-−-x)⋅1,25−-x-| ------------------------------------------------------

Так как за 5 лет долг полностью погашен, то долг после пятого платежа равен 0, поэтому получаем

(1,25S − x)⋅1,25− x= 0 ( ) 5S − x ⋅ 5 − x= 0 4 4 9 52 4 x= 42S 2 x = -5--⋅720000 4⋅9 x= 500000

Тогда общая сумма платежей за 5 лет в рублях равна

0,25S⋅3 +2x = 0,25⋅720000 ⋅3+ 2⋅500000 =1540000

Ответ: 1540000

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#90049

В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1260 тыс. руб. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2027, 2028, 2029 годов долг остается равным 1260 тыс. руб.

— выплаты в 2030 и 2031 годах равны.

— к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму платежей за пять лет.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дагестан

Показать ответ и решение

Каждый год сумма кредита увеличивается на 25%, то есть в $1 + 21050 = 1,25$ раза.

Составим таблицу, обозначив сумму кредита за $S = 1260000$ рублей. В первые 3 года заёмщик выплачивает только начисленные проценты, то есть по $0,25S$ рублей. Платежи в 4 и 5 года равны, обозначим их за $x$ рублей.

|----|----------------|------------|------------------| | Год |Д олг в руб. после|Платёж в руб. Д олг в руб. после |-1--|--начи1сл,е2н5Sия-%---|---0,25S----|-----платSежа------| |-2--|-----1,25S-------|---0,25S----|--------S---------| |-3--|-----1,25S-------|---0,25S----|--------S---------| |-4--|-----1,25S-------|-----x------|-----1,25S-− x-----| |-5--|-(1,25S−-x)⋅1,25--|-----x------|(1,25S-−-x)⋅1,25−-x-| ------------------------------------------------------

Так как за 5 лет долг полностью погашен, то долг после пятого платежа равен 0, поэтому получаем

(1,25S − x)⋅1,25− x= 0 ( ) 5S − x ⋅ 5 − x= 0 4 4 52 5 42S − 4x− x =0 2 9 x= 5-S 4 42 52-- x = 4⋅9 ⋅1260000 x= 875000

Тогда общая сумма платежей за 5 лет в рублях равна:

0,25S ⋅3+ 2x= 0,25 ⋅1260000⋅3+ 2⋅875000= 2695000

Ответ: 2695000

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#90210

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита должна быть на 48 250 рублей больше суммы, взятой кредита?

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Адыгея

Показать ответ и решение

Составим таблицу, обозначив за $S$ руб. сумму кредита, за $x$ руб. — ежегодный платеж, а за $k =1 + 21000 = 65$ — во сколько раз увеличивается долг после начисления процентов.

|Год-|Д-олг в-руб.-до|Д-олг в руб.-после|Платёж-в руб. |---|-начисления-%-|--начисления-%---|-------------| |-1-|------S------|-------kS-------|-----x-------| |-2-|----kS−-x----|----k2S−-kx-----|-----x-------| --3---k2S-− kx-−-x---k3S-−-k2x−-kx--------x-------

Так как в конце третьего года кредит будет погашен, то

k3S − k2x − kx = x ( 2 ) 3 x k + k+ 1 = k S k3−-1 3 x k− 1 = k S k − 1 x = Sk3k3−-1 3x = 3Sk3 k3− 1 k − 1

Мы знаем, что $k = 6. 5$ Преобразуем правую часть:

3 k − 1 63 1 3Sk k3−-1 =3S ⋅53 ⋅(-6)53-- = 5 − 1 =3S ⋅ 63⋅-52-- = 648-S 53 63− 53 455

Заметим, что за три года банку заплатили $3x$ рублей, тогда $3x =S + 48250.$ Подставим это в выражение для $3x :$

S +48250= 644585S 48250 = 193-S 455 S = 48250-⋅455- 193 S = 113750

Тогда за три года банку заплатили

S + 48250 = 113750+ 48250 = 162000 руб.

Ответ: 162000

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#100157

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита должна быть на 34 150 рублей больше суммы, взятой кредита?

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

Составим таблицу, обозначив за $S$ руб. сумму кредита, за $x$ руб. — ежегодный платеж, а за $k = 1 + 11000 = 1110 =1,1$ — во сколько раз увеличивается долг после начисления процентов.

|Год-|Д-олг в-руб.-до|Д-олг в руб.-после|Платёж-в руб. |---|-начисления-%-|--начисления-%---|-------------| |-1-|------S------|-------kS-------|-----x-------| |-2-|----kS−-x----|----k2S−-kx-----|-----x-------| --3---k2S-− kx-−-x---k3S-−-k2x−-kx--------x-------

Так как в конце третьего года кредит будет погашен, то

k3S − k2x − kx = x ( 2 ) 3 x k + k+ 1 = k S k3−-1 3 x k− 1 = k S k − 1 x = Sk3k3−-1 3x = 3Sk3 k3− 1 k − 1

Мы знаем, что $k = 6. 5$ Преобразуем правую часть:

3Sk3-k3−-1 = 3S⋅1,13 ⋅--03,1---= k − 1 1,1 − 1 = S ⋅ 3⋅1,331⋅0,1= 3993S 0,331 3310

Заметим, что за три года банку заплатили $3x$ рублей, тогда $3x =S + 34150.$ Подставим это в выражение для $3x :$

3993 S+ 34150 = 3310S 34150= -683-S 3310 S = 34150⋅3310 683 S = 165500

Тогда за три года банку заплатили

S + 34150 = 165500+ 34150 = 199650 руб.

Ответ: 199650

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#91001

15-го июля планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на срок 29 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 2,32 млн рублей?

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день, Дальний восток

Показать ответ и решение

Из условия следует, что кредит должен выплачиваться дифференцированными платежами.

Пусть в банке взято $S$ млн рублей в кредит. Обозначим величину $0,04 =p,$ так как кредит берется под 4%. Тогда можно составить таблицу:

|------|-------------------|----------------------|-----------| |Месяц-|Долг-до начисления-%|Д-олг-после-начисления-%-|--Плате1ж---| |--1---|--------2S8---------|------28-S-+pS28-------|--p2S8+-29S1--| |--2---|--------29S---------|------29S-+-p⋅29S------|p⋅29S-+-29S-| |--...--|--------.1..---------|------1---...-1--------|---1-...-1--| ---29------------29S----------------29S-+-p⋅29S-------p⋅29S-+-29S--

Найдем сумму платежей. Они составляют арифметическую прогрессию, поэтому имеем:

( ) ( ) ( ) pS + 1-S + p⋅ 28S + 1-S +⋅⋅⋅+ p⋅-1S + 1-S = 29 29 29 29 29 ( 28 1) 1+ 219 = pS⋅ 1+ 29 + ⋅⋅⋅+ 29 + S =pS ⋅--2--⋅29+ S = = pS⋅15+ S = -4-S⋅15+ S = 3S +S = 8S 100 5 5

Тогда по условию получаем

8S = 2,32 ⇒ S = 2,32⋅5-= 1,45 5 8

Значит, в кредит планируется взять 1,45 млн рублей.

Ответ:

1,45 млн рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#91002

15-го июля планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на срок 14 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1,3 млн рублей?

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день, Дальний восток

Показать ответ и решение

Из условия следует, что кредит должен выплачиваться дифференцированными платежами.

Пусть в банке взято $S$ млн рублей в кредит. Обозначим величину $0,04 =p,$ так как кредит берется под 4%. Тогда можно составить таблицу:

|------|-------------------|----------------------|-----------| |Месяц-|Долг-до начисления-%|Д-олг-после-начисления-%-|--Плате1ж---| |--1---|--------1S3---------|------13-S-+pS13-------|--p1S3+-14S1--| |--2---|--------14S---------|------14S-+-p⋅14S------|p⋅14S-+-14S-| |--...--|--------.1..---------|------1---...-1--------|---1-...-1--| ---14------------14S----------------14S-+-p⋅14S-------p⋅14S-+-14S--

Найдем сумму платежей. Они составляют арифметическую прогрессию, поэтому имеем:

( ) ( ) ( ) pS + 1-S + p⋅ 13S + 1-S +⋅⋅⋅+ p⋅-1S + 1-S = 14 14 14 14 14 ( 13 1) 1+ 114 = pS⋅ 1+ 14 + ⋅⋅⋅+ 14 + S =pS ⋅--2--⋅14+ S = = pS ⋅7,5+ S = -4-S⋅7,5+ S =-3S + S = 13-S 100 10 10

Тогда по условию получаем

13S = 1,3 ⇒ S = 1,3⋅10-= 1 10 13

Значит, в кредит планируется взять 1 млн рублей.

Ответ:

1 млн рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#91003

15-го июля планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на срок 24 месяца. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1,8 млн рублей?

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день, Дальний восток

Показать ответ и решение

Из условия следует, что кредит должен выплачиваться дифференцированными платежами.

Пусть в банке взято $S$ млн рублей в кредит. Обозначим величину $0,04 =p,$ так как кредит берется под 4%. Тогда можно составить таблицу:

|------|-------------------|----------------------|-----------| |Месяц-|Долг-до начисления-%|Д-олг-после-начисления-%-|--Плате1ж---| |--1---|--------2S3---------|------23-S-+pS23-------|--p2S3+-24S1--| |--2---|--------24S---------|------24S-+-p⋅24S------|p⋅24S-+-24S-| |--...--|--------.1..---------|------1---...-1--------|---1-...-1--| ---24------------24S----------------24S-+-p⋅24S-------p⋅24S-+-24S--

Найдем сумму платежей. Они составляют арифметическую прогрессию, поэтому имеем:

( ) ( ) ( ) pS + 1-S + p⋅ 23S + 1-S +⋅⋅⋅+ p⋅-1S + 1-S = 24 24 24 24 24 ( 23 1) 1+ 214 = pS⋅ 1+ 14 + ⋅⋅⋅+ 24 + S =pS ⋅--2--⋅24+ S = = pS ⋅12,5+ S = -4-S⋅12,5 +S = 1S + S = 3 S 100 2 2

Тогда по условию имеем:

3S = 1,8 ⇒ S = 1,8-⋅2= 1,2 2 3

Значит, в кредит планируется взять 1,2 млн рублей.

Ответ:

1,2 млн рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#91004

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 27 млн рублей?

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день, Центр

Показать ответ и решение

Пусть $n$ — число лет, на которое взят кредит. Пусть $S = 18$ млн рублей.

Так как годовой процент в банке равен 10%, то это значит, что каждый год долг увеличивается на 0,1 от долга на конец предыдущего года. Из условия следует, что система выплат дифференцированная, следовательно, каждый год долг должен уменьшаться на $1 n$ часть, то есть на $S n$ млн рублей.

Составим таблицу:

|----|-------------------|----------------------|-------------| |Год-|Долг до-начисления %|Долг-после-начисления %-|--SВыплата---| |-1--|--------S----------|------S-+-0,1⋅S--------|--n-+-0,1⋅S---| |-2--|------n−n1-⋅S--------|--n−n1⋅S-+-0,1⋅ n−n1-⋅S--|Sn-+0,1⋅ n−n1⋅S| |-...-|--------...---------|----------...----------|-----...------| | n | Sn | Sn + 0,1⋅ Sn | Sn +0,1⋅ Sn | ---------------------------------------------------------------

Таким образом, общая сумма выплат составляет

( S ) ( S n − 1 ) (S S) n-+0,1⋅S + n-+ 0,1⋅--n--⋅S + ...+ n-+ 0,1⋅ n- = ( ) = S-⋅n+ 0,1S ⋅ 1+ n-−-1+ ...+ 1- = S + 0,1S⋅ 1-+-1n⋅n = n n n 2 n+ 1 = 18+ 0,1 ⋅18 ⋅-2--= 18+ 0,9⋅(n + 1)

Так как общая сумма выплат по условию равна 27 млн рублей, то имеем:

18+ 0,9(n +1)= 27 0,9(n+ 1)= 9 n =9

Таким образом, кредит планируется взять на 9 лет.

Ответ:

На $9$ лет

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#91005

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 27 млн рублей?

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день, Центр

Показать ответ и решение

Пусть $n$ — число лет, на которое взят кредит. Пусть $S = 18$ млн рублей.

Так как годовой процент в банке равен 25%, то это значит, что каждый год долг увеличивается на 0,25 от долга на конец предыдущего года. Из условия следует, что система выплат дифференцированная, следовательно, каждый год долг должен уменьшаться на $1 n$ часть, то есть на $S n$ млн рублей.

Составим таблицу:

|---|--------------------|----------------------|--------------| |Год|-Долг до-начисления %|Долг после начисления %--SВыплата----| |-1-|---------S----------|------S+-0,25-⋅S-------|--n-+0,25⋅S---| |-2-|-------n−n1⋅S--------|--n−n1⋅S+-0,25-⋅ n−n1⋅S--|Sn +-0,25-⋅ n−n1⋅S |...-|---------...---------|----------...-----------|------...------| | n | Sn | Sn + 0,25 ⋅ Sn | Sn +0,25⋅ Sn | ----------------------------------------------------------------

Таким образом, общая сумма выплат составляет

(S- ) ( S- n−-1- ) ( S- S) n + 0,25 ⋅S + n + 0,25 ⋅ n ⋅S + ...+ n + 0,25 ⋅n = ( ) 1 = S-⋅n+ 0,25S ⋅ 1+ n-−-1+ ...+ 1- = S + 0,25S⋅ 1-+-n⋅n = n n n 2 = 18+ 0,25 ⋅18 ⋅ n+-1= 18+ 2,25 ⋅(n + 1) 2

Так как общая сумма выплат равна по условию равна 27 млн рублей, то имеем:

18+ 2,25(n+ 1)= 27 2,25(n +1)= 9 n =3

Таким образом, кредит планируется взять на 3 года.

Ответ:

На $3$ года

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#91006

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 7 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 17,5 млн рублей?

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день, Центр

Показать ответ и решение

Пусть $n$ — число лет, на которое взят кредит. Пусть $S = 7$ млн рублей.

Так как годовой процент в банке равен 20%, то это значит, что каждый год долг увеличивается на 0,2 от долга на конец предыдущего года. Из условия следует, что система выплат дифференцированная, следовательно, каждый год долг должен уменьшаться на $1 n$ часть, то есть на $S n$ млн рублей.

Составим таблицу:

|----|-------------------|----------------------|-------------| |Год-|Долг до-начисления %|Долг-после-начисления %-|--SВыплата---| |-1--|--------S----------|------S-+-0,2⋅S--------|--n-+-0,2⋅S---| |-2--|------n−n1-⋅S--------|--n−n1⋅S-+-0,2⋅ n−n1-⋅S--|Sn-+0,2⋅ n−n1⋅S| |-...-|--------...---------|----------...----------|-----...------| | n | Sn | Sn + 0,2⋅ Sn | Sn +0,2⋅ Sn | ---------------------------------------------------------------

Таким образом, общая сумма выплат составляет

( S ) ( S n − 1 ) (S S) n-+0,2⋅S + n-+ 0,2⋅--n--⋅S + ...+ n-+ 0,2⋅ n- = ( ) = S-⋅n+ 0,2S ⋅ 1+ n-−-1+ ...+ 1- = S + 0,2S⋅ 1-+-1n⋅n = n n n 2 n+ 1 = 7+ 0,2 ⋅7 ⋅-2---= 7+ 0,7(n + 1)

Так как общая сумма выплат равна по условию равна 17,5 млн рублей, то имеем:

7+ 0,7(n+ 1)= 17,5 0,7(n+ 1)= 10,5 n= 14

Таким образом, кредит планируется взять на 14 лет.

Ответ:

На $14$ лет

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.