Неравенства на Иннополисе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
— неотрицательные числа, и
Докажите, что 
для любого 
Источники:
Подсказка 1:
Выглядит страшно... В условии сказано, что нужно доказать утверждение для всех i = 1, 2, 3, ..., 2024. Какой метод доказательства напрашивается?
Подсказка 2:
Конечно! Метод математической индукции. Давайте заменим 2025 на n и докажем утверждение в общем виде. Так... Базу доказать достаточно просто: раскроем скобки, выразим ашки через бэшки. Тогда, написав нужное нам неравенство, выражая его через бэкши, оно становится очевидным. Теперь давайте напишем индукционное предположение и переход.
Подсказка 3:
Пусть bₙ₊₁ = b. Докажем, что умножив выражение из индукционного предположения на (x+b), неравенства сохраняют свою справедливость. Давайте приведём многочлен с ашками к виду aₙxⁿ⁺¹ + (aₙb + aₙ₋₁)xⁿ + ... + (a₂b + a₁)x² + (a₁b + a₀)x + a₀b. Как тогда выглядят неравенства, которые нам надо доказать? Какие из них стоит рассмотреть отдельно?
Подсказка 4:
Для доказательства индукционного перехода достаточно доказать следующие неравенства: 1. (aₙb + aₙ₋₁)² ≥ aₙ(aₙ₋₁b+aₙ₋₂); 2.(a₁b+a₀)² ≥ a₀b(a₂b +a₁); 3. (aᵢb + aᵢ₋₁)²
Подсказка 5:
Давайте раскроем скобки в левой и правой части неравенства. Теперь пару раз применим индукционное предположение, чтобы оценить (aᵢ²b²) и (aᵢ₋₁)² из левой части через слагаемые из правой части. Осталось сравнить средние слагаемые. Очевидно, что для этого достаточно сравнить aᵢaᵢ₋₁ и aᵢ₊₁aᵢ₋₂. Что нужно сделать, чтобы воспользоваться уже знакомым нам приёмом?
Подсказка 6:
Конечно! Умножим обе части на aᵢaᵢ₋₁ и напишем индукционное предположение!
Докажем индукцией более общее утверждение:
Для любого целого 
если 
неотрицательны и
то 
для любого 
База индукции 
в таком случае 
и 
а значит, 
—
доказано.
Индукционное предположение: пусть для некоторого 
и любых неотрицательных 
если
то 
для любого 
Шаг индукции: рассмотрим многочлен 
где 
Имеем
Для завершения индукционного шага достаточно рассмотреть (доказать) три неравенства:
- 1.
-
- 2.
-
- 3.
-
для всех i = 
Рассмотрим их по порядку:
- 1.
-
Раскроем скобки и оценим выражение, откинув неотрицательные слагаемые,
Теперь, применяя предположение индукции, получаем то, что нужно
- 2.
-
Применяя базу, получаем то, что нужно
- 3.
-
Пусть теперь
— произвольное целое число. Раскроем скобки в левой части неравенства:
Раскроем скобки в правой части неравенства:
По предположению индукции первое слагаемое из левой части неравенства не меньше первого слагаемого из правой части неравенства:
Аналогично, последнее слагаемое из левой части неравенства не меньше последнего
слагаемого из правой части неравенства: 
Теперь сравним средние слагаемые в левой и правой частях неравенства: очевидно, что для этого достаточно сравнить
и 
Для этого умножим обе величины на 
и применим индукционное предположение:
Следовательно,
что завершает доказательство.
Шаг индукции доказан, а вместе с ним и утверждение, обобщающее утверждение задачи.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
