.00 №14 из ЕГЭ 2023

а) Проведем и , где — проекция на плоскость нижнего основания. Также проведем высоту в нижнем основании призмы, и получаем, что

Заметим, что

Тогда по обратное теореме Фалеса получаем, что

Воспользуемся обратное теоремой о трех перпендикулярах:

Таким образом, мы получили, что а значит плоскость содержит прямую, проходящую через откуда немедленно получаем, что А так как мы знаем, что — середина то уверждение пункта (а) доказано.

б) Опустим из точки перпендикуляр на отрезок Таким образом, мы получаем, что наша плоскость образуется двумя прямыми: Для того, чтобы найти, в каком отношении разобъет отрезок необходимо выяснить как пересекает грань

Для этого отметим точку — проеция точки на верхнее основание, и найдем точку пересечения c прямой, проходящей через отрезок обозначим её Важно заметить, что пересечение будет будет лежать в верхней гране. Действительно, пусть

Тогда по теореме Пифагора для

Рассмотрим прямоугольник

А это значит, что высота «находится ближе» к стороне Обозначим

Таким образом, можем достроить сечение, проведя через точку прямую, параллельную Пусть

Перейдем к непосредственному подсчету:

По ранее полученному По теореме Пифагора для

Выполним выносной чертеж прямоугольника

Пусть тогда можем заметить из

Таким образом получаем

Рассмотрим

Тогда, имеем:

Значит разбивается плоскостью в отношении