.00 №14 из ЕГЭ 2023

а) Так как и то грани и параллельны. Следовательно, плоскость пересечет их по параллельным прямым. Значит, плоскость пересечет грань по прямой где — точка на ребре Продлим до пересечения с прямой в точке Тогда точка являющаяся точкой пересечения и является одной из вершин сечения призмы плоскостью Следовательно, — сечение призмы плоскостью

Так как то достаточно доказать, что

Из условия следует, что Пусть также Углы и равны как углы между попарно параллельными прямыми. Следовательно, по катету и острому углу равны и так как Следовательно, Значит, — середина ребра

следовательно, откуда

следовательно, значит, можно обозначить

По обратной теореме Фалеса, так как то Следовательно, откуда Что и требовалось доказать.

б) Так как и то — параллелограмм. Следовательно, Следовательно, — равнобедренный с углом значит, он равносторонний и Следовательно,

По теореме Пифагора

Так как и то — прямоугольник, следовательно, и прямоугольный с Также

По теореме Пифагора

Проведем Следовательно, треугольник прямоугольный и по теореме Пифагора

Тогда по теореме Пифагора для получаем

Так как — линия пересечения плоскостей и то проведем Тогда по теореме о трех перпендикулярах Следовательно, — угол между и Его тангенс равен Следовательно, нужно найти

Заметим, что так как равносторонний и то следовательно, лежит на продолжении отрезка за точку

Рассмотрим По теореме косинусов

Тогда по теореме синусов из этого же треугольника

Из прямоугольного имеем

Тогда