№15 из ЕГЭ 2021 - Каталог заданий по ЕГЭ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#26242Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

1−1 1−1 9x +2 ⋅3x − 3≥ 0

Источники: ЕГЭ 2021, основная волна

Показать ответ и решение

Обозначим $1−1 3x = t,$ тогда $1−1 2 9x = t$ и неравенство примет вид

$pict$

Вернемся к переменной $x:$

$pict$

Решим полученное неравенство методом интервалов:

x ∈(0;1]

Ответ:

$(0;1]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#26243Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

(x x+1)2 x+1 x 9 − 3 + 8⋅3 < 8⋅9 + 20

Источники: ЕГЭ 2021, основная волна

Показать ответ и решение

$pict$

Обозначим $y = 9x− 3x+1,$ тогда неравенство примет вид:

$pict$

Вернемся к обозначениям $x x+1 y = 9 − 3 :$

$pict$

Обозначим $t =3x,$ тогда неравенство примет вид:

$pict$

Вернемся к обозначениям $t =3x :$

$pict$

Выражение $x log32 3 + 3 > 0$ при любых значениях $x,$ то есть можно поделить на него левую и правую части неравенства, знак от этого не изменится:

$pict$

Используем метод рационализации для каждого из множителей:

$pict$

Решим полученное неравенство методом интервалов:

x∈ (− ∞;0)∪ (log32;log35)

Ответ:

$(−∞; 0)∪(log32;log35)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#26244Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

3x 3x +1 5 3x−-3 + 3x-− 2 + 9x−-5⋅3x+-6 ≤0

Источники: ЕГЭ 2021, основная волна

Показать ответ и решение

Обозначим $3x = t,$ тогда $9x = (3x)2 = t2$ и неравенство примет вид

-t-- t+-1 ----5----- t− 3 + t− 2 + t2− 5⋅t+ 6 ≤ 0 t t+1 5 t−-3 + t− 2-+ (t-− 3)(t− 2)-≤0 t(t− 2)+ (t+1)(t− 3)+ 5 ------(t−-3)(t−-2)----- ≤ 0 2 2 t-−-2t+-t−-2t−-3+-5 ≤0 (t− 3)(t− 2) 2t2−-4t+-2-- (t− 3)(t− 2) ≤ 0 t2− 2t+ 1 (t−-3)(t−-2) ≤ 0 2 --(t−-1)---≤ 0 (t− 3)(t− 2)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$t123+−++$

Получим, что $t∈{1}∪ (2;3).$

Сделаем обратную замену:

$pict$

Таким образом, получаем $x ∈ {0} ∪(log32;1).$

Ответ:

${0}∪ (log32;1)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#16745Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

1 4x+12 − 2x+5+ 4 2x-− 1-+---2x-− 16---≥ 2x+1

Источники: ЕГЭ 2021, резервная волна

Показать ответ и решение

Перенесем все слагаемые налево и приведем к общему знаменателю:

(2x − 16)+ (2x− 1)(4x+ 12 − 2x+5+ 4) − 2x+1(2x − 1)(2x− 16) -----------------(2x−-1)(2x−-16)------------------≥ 0 2x−-16+-23x+1-− 22x+5+-2x+2-− 22x+1+-2x+5−-4−-(23x+1−-22x+1−-22x+5-+2x+5)≥ 0 (2x− 1)(2x− 16) 2x− 16+ 2x+2− 4 (2x−-1)(2x−-16)-≥ 0 x 2-(4+-1)− 4(4+-1)≥ 0 (2x− 1)(2x− 16) ---5(2x−-4)--- (2x− 1)(2x− 16) ≥ 0

Пусть $t= 2x,$ тогда запишем полученное неравенство через $t$ и решим с помощью метода интервалов:

---5(t− 4)- ≥ 0 (t− 1)(t− 16)

$PIC$

Учитывая, что $x 2 = t> 0,$ а также знаменатель не может равняться нулю, получим систему

(| ⌊ (| ⌊ x ||{ ⌈16< t ||{ ⌈16< 2 | 1< t≤ 4 ⇔ | 1< 2x ≤ 4 ||( 0< t ||( 0< 2x

Отсюда окончательно получаем

⌊ ⌈4 < x 0 < x≤ 2

Ответ:

$(0;2]∪(4;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».