№16 из ЕГЭ 2020 - Каталог заданий по ЕГЭ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#13555Максимум баллов за задание: 2

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на три года в размере $S$ тысяч рублей, где $S$ — целое число.

Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдушего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следуюшей таблицей:


Месяц и год	Долг
	(в тыс. рублей)

Июль 2026	$S$

Июль 2027	$0,8S$

Июль 2028	$0,4S$

Июль 2029	0

Найдите наибольшее значение $S,$ при котором каждая из выплат будет не больше 840 тысяч рублей.

Источники: ЕГЭ 2020

Показать ответ и решение

Так как кредит взят в июле 2026 года, то в этот год не начисляются проценты и не проводятся никакие выплаты.

Далее, кредит взят на 3 года, размер кредита $S$ тыс. рублей. При этом процент по кредиту фиксированный и составляет 20%, а значит, сумма долга после начисления процентов будет в 1,2 раза больше суммы долга до начисления процентов.

Составим таблицу, учитывая данные по размеру долга после выплаты из условия. При этом значение в столбце «Выплата» будет равно разности соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления %» и «Сумма долга после выплаты».


год	Сумма долга	Сумма долга	Сумма долга	Выплата
	до начисления %	после начисления %	после выплаты

2027	$S$	$1,2S$	$0,8S$	$1,2S − 0,8S$

2028	$0,8S$	$1,2⋅0,8S$	$0,4S$	$1,2⋅0,8S − 0,4S$

2029	$0,4S$	$1,2⋅0,4S$	$0$	$1,2 ⋅0,4S$

Составим систему, в которой каждая из выплат, то есть каждое из значений в столбце «Выплата», не больше 840 тыс. рублей:

$pict$

Таким образом, максимальный размер кредита равен 1500 тыс. рублей.

Ответ: 1500

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#15889Максимум баллов за задание: 2

Производство $x$ единиц продукции обходится в $q =x2 +6x +10$ рублей в месяц. При цене 500 рублей за единицу месячная прибыль от продажи этой продукции составляет $500x − q$ рублей. Сколько единиц продукции нужно ежемесячно выпускать для получения максимальной прибыли?

Источники: ЕГЭ 2020

Показать ответ и решение

Подставим стоимость производства $x$ единиц продукции $q$ в формулу прибыли:

500x− q = 500x− x2− 6x− 10= − x2+494x − 10

Очевидно, что максимальная прибыль достигается в максимуме функции

f(x)= −x2+ 494x− 10

Так как это квадратичная функция, то ее график — парабола с ветвями вниз, так как коэффициент перед $x2$ отрицательный.

При этом значение $x,$ в котором достигается максимум, можно найти двумя способами.

1 способ.

Вершина параболы находится по формуле

-b --494-- x = −2a = −2⋅(−1)= 247

2 способ.

Найдем производную

f′(x)= − 2x+ 494

В точке экстремума производная равна нулю, значит искомый $x$ будет решением уравнения

494 −2x+ 494= 0, x = 2 = 247

Ответ: 247

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#16740Максимум баллов за задание: 2

Планируется открыть вклад на 4 года, положив на счет целое число миллионов рублей. В конце каждого года он увеличивается на 10%, а в начале третьего и четвертого годов вклад пополняется на 5 млн рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором начисленные за весь срок проценты составят более 10 млн рублей.

Источники: ЕГЭ 2020

Показать ответ и решение

Обозначим первоначальный вклад за $S$ млн рублей. Далее расчеты будем вести в млн рублей. В конце каждого года сумма вклада увеличивается на 10%, то есть увеличивается в 1,1 раза.

Кроме того, в начале 3-го и 4-го годов сумма вклада увеличится на 5 миллионов рублей по сравнению с суммой вклада после начисления процентов за предыдущий год. Составим таблицу:


Год	Сумма вклада	Пополнение	Сумма вклада	Процентное
	на начало года		до начисления %	начисление

1	$S$	0	$S$	$0,1S$

2	$1,1S$	0	$1,1S$	$0,1 ⋅1,1S$

3	$1,12S$	5	$1,12S+ 5$	$0,1⋅(1,12S+ 5)$

4	$2 1,1⋅(1,1 S +5)$	5	$2 1,1 ⋅(1,1 S +5)+ 5$	$2 0,1⋅(1,1⋅(1,1 S+ 5)+ 5)$

По условию начисленные за весь срок проценты, а именно сумма по столбцу «Процентное начисление», будут более 10 млн рублей. Запишем это в виде неравенства:

$pict$

Таким образом, наименьший целый размер вклада равен 19 млн рублей.

Ответ: 19 млн рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#24467Максимум баллов за задание: 2

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму $250000$ рублей. Известно, что банк каждый год увеличивает сумму кредита на $r%$ , после чего происходит платеж. Кредит был полностью выплачен за $2$ года. Найдите $r$ , если первый платеж составил $150000$ рублей, а второй $180000$ рублей.

Источники: ЕГЭ 2020

Показать ответ и решение

Кредит был взят на 2 года, сумма кредита составила $S = 250000$ рублей.

Первая выплата составила $S1 = 150000$ рублей, вторая выплата составила $S2 = 180000$ рублей.

При этом значение суммы долга после выплаты можно вычислить как разность суммы долга после начисления процентов и выплаты.

То есть сумма долга после выплаты за 1 год составит

r r S + S ⋅100 − S1 = 250000+ 250000⋅100 − 150000 = 100000+ 2500r

. Более того, это значение будет равно сумме долга до начисления процентов за 2 год.

Тогда сумма долга после начисления процентов за 2 год составит

-r- 2 2 (100000 +2500r)+ (100000+ 2500r)100 = 100000+ 2500r +1000r +25r = 100000 + 3500r+ 25r

Составим таблицу с учетом этих данных:


год	Сумма долга	Сумма долга	Выплата	Сумма долга
	до начисления %	после начисления %		после выплаты

$1$ год	$250000$	$250000 + 2500r$	$150000$	$100000+ 2500r$

$2$ год	$100000+ 2500r$	$100000 + 3500r + 25r2$	$180000$	$100000+ 3500r+ 25r2 − 180000$

Кредит был погашен за 2 года, то есть сумма долга после выплаты за 2 год равна 0. Запишем это в виде уравнения:

2 2 2 100000+ 3500r+ 25r − 180000 = 0 ⇒ 25r + 3500r− 80000 = 0 ⇒ r +140r − 3200 = 0

Решим теперь полученное квадратное уравнение с учетом того, что $r > 0$ :

⌊ r = −140+180 = 20 D = 1402 − 4 ⋅(− 3200) = 19600+ 12800 = 32400 = 1802 ⇒ ⌈ 2 ⇒ r = 20 r = −1402−180 = − 160 < 0

Ответ: 20

Ответ:

20

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#24471Максимум баллов за задание: 2

В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 220 тысяч рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на $r%$ по сравнению c концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 220 тысяч рублей;

— выплаты в 2030 и 2031 годах равны;

— к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.

Найдите $r,$ если известно, что долг будет выплачен полностью и общий размер выплат составит 420 тысяч рублей.

Источники: ЕГЭ 2020

Показать ответ и решение

Обозначим размер кредита за $S = 220$ тыс. рублей. Кредит взят в июле 2026 года, то есть в этот год не производятся никакие выплаты и не начисляются проценты.

Обозначим выплаты за 2030 и 2031 год за $S1$ (из условия они равны).

Из условия, в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остается равным 220 тысяч рублей, то есть равным $S.$

Составим таблицу на основе этих данных с учетом того, что:

1. Значение в столбце "Выплата" за 2027, 2028 и 2029 год будет равно разности соответствующих значений в столбцах "Сумма долга после начисления процентов" и "Сумма долга после выплаты"

2. Сумма долга после выплаты за 2030 и 2031 года будет равна разности соответствующих значений в столбцах "Сумма долга после начисления процентов" и "Выплата".

Год

Сумма долга

до начисления %

Сумма долга

после начисления %

Выплата

Сумма долга

после выплаты

2027 год

$S$

$( r) S 1+ 100-$

$( r) S 1+ 100-− S$

$S$

2028 год

$S$

$( r) S 1+ 100-$

$( r) S 1+ 100-− S$

$S$

2029 год

$S$

$( -r) S 1+ 100$

$( -r) S 1+ 100 − S$

$S$

2030 год

$S$

$( -r) S 1+ 100$

$S1$

$( -r) S 1+ 100 − S1$

2031 год

$S(1+ -r-)− S1 100$

$(S(1+ -r-)− S1)(1+ r-) 100 100$

$S1$

$(S(1+ -r-)− S1) (1 + r-)− S1 100 100$

Отметим, что кредит был погашен за 5 лет, то есть сумма долга после выплаты в 2031 году равна 0. Запишем это в виде уравнения:

$pict$

Обозначим $1 + -r-= q 100$ и перепишем уравнение:

$pict$

Известно, что общий размер выплат (сумма по столбцу "Выплата") составит 420 тыс. рублей. Запишем это в виде уравнения:

$pict$

Подставим сюда $S1$ и заменим $-r- 100$ на $q− 1:$

$pict$

Вспомним, что $-r- q = 1+ 100,$ то есть $r = 100⋅(q− 1).$ Подставим найденное значение $q$ :

-2 r = 100⋅10 =20

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#24476Максимум баллов за задание: 2

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным S тысяч рублей;

– выплаты в 2030 и 2031 годах равны по 360 тысяч рублей;

– к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат за пять лет.

Источники: ЕГЭ 2020

Показать ответ и решение

Сумма кредита равна $S$ тыс. рублей. Кредит взят в июле 2026 года, то есть в этот год не производятся никакие выплаты и не начисляются проценты.

Выплаты за 2030 и 2031 годы составили $S1 =360$ тыс. рублей.

Составим таблицу с учетом того, что в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остается равным $S,$ то есть сумма долга после выплаты равна $S.$ Выплаты за эти года равны разности соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Сумма долга до начисления процентов». При этом сумма долга после выплаты за 2030 и 2031 годы равна разности соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Выплата».

год

Сумма долга

до начисления %

Сумма долга

после начисления %

Выплата

Сумма долга

после выплаты

2027

$S$

$1,2S$

$1,2S − S$

$S$

2028

$S$

$1,2S$

$1,2S − S$

$S$

2029

$S$

$1,2S$

$1,2S − S$

$S$

2030

$S$

$1,2S$

$S 1$

$1,2S− S 1$

2031

$1,2S− S1$

$1,2(1,2S − S1)$

$S1$

$1,2(1,2S− S1)− S1$

Отметим, что к концу пятого года долг полностью погасится, а значит сумма долга после выплаты в 2031 году равна 0. Запишем это в виде уравнения:

$pict$

Теперь найдем по столбцу «Выплата» общую сумму выплат:

1,2S − S + 1,2S − S + 1,2S− S + S + S = 0,6S +2S 1 1 1

Подставив значения $S$ и $S1,$ найдем искомую величину:

0,6 ⋅550 +2 ⋅360 = 330 +720 =1050

Ответ: 1050 тысяч рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#24480Максимум баллов за задание: 2

В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

– в январе каждого года долг увеличивается на 30% по сравнению с предыдущим годом.

– с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.

Определите, на какую сумму будет взят кредит в банке, если известно, что кредит выплачивается тремя равными платежами (за 3 года) и общая сумма выплат будет на 78030 рублей больше суммы взятого кредита.

Показать ответ и решение

Долг взят в июле 2020 года, то есть в этот год не происходит начисление процентов и выплаты по кредиту не производятся.

Кредит выплачен тремя равными платежами, тогда обозначим сумму выплаты за каждый год за $S1.$

Составим таблицу на основе этих данных с учетом того, что значение в столбце «Сумма долга после выплаты» будет равно разности соответствующих значений по столбцам «Сумма долга после начисления процентов» и «Выплата».

Год

Сумма долга

до начисления %

Сумма долга

после начисления %

Выплата

Сумма долга

после выплаты

2021

$S$

$1,3S$

$S1$

$1.3S − S1$

2022

$1,3S− S 1$

$1,3⋅(1,3S − S) 1$

$S 1$

$1,3⋅(1,3S − S )− S 1 1$

2023

$1,3⋅(1,3S− S1)− S1$

$1,3 ⋅(1,3⋅(1,3S − S1)− S1)$

$S1$

$1,3⋅(1,3⋅(1,3S − S1)− S1)− S1$

По условию кредит погашен за 3 года, то есть сумма долга после выплаты за 2023 год равна 0. Запишем это в виде уравнения:

1,3 ⋅(1,3⋅(1,3S − S1)− S1)− S1 = 0 3 2 1,3 ⋅S − 1,3 ⋅S1 − 1,3⋅S1− S1 =0

Отсюда выразим $S :$

1+ 1,3+ 1,32 2,3+ 1,69 3,99 S = S1⋅----1,33----= S1⋅--2,197--= S1⋅2,197

Из условия общая сумма выплат будет на 78030 рублей больше суммы взятого кредита, то есть

S1+ S1+ S1 = S+ 78030 S 78030 S S1 = 3-+--3-- ⇔ S1 = 3-+ 26010

Подставим $S1$ в выражение для суммы кредита:

( ) S = S-+ 26010 ⋅-3,99- 3 2,197 S − S-⋅ 3,99-= 26010 ⋅ 3,99- 3 2,197 2,197 ( 1,33 ) 3,99 S ⋅ 1− 2,197 = 26010⋅ 2,197- S ⋅ 2,197−-1,33 = 26010-⋅3,99 2,197 2,197 S ⋅ 0,867= 26010⋅3,99 2,197 2,197 26010⋅3,99 S = ---0,867---= 30000 ⋅3,99= 119700

Таким образом, сумма кредита составит 119 700 рублей.

Ответ: 119 700 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#24486Максимум баллов за задание: 2

Клиенту банка был выдан кредит на 550000 рублей. Известно, что банк каждый год увеличивает остаток долга на 20 процентов, после чего происходит платеж. Кредит был полностью выплачен за 2 года, причем платежи были равными. Найдите общую сумму, выплаченную клиентом банку.

Источники: ЕГЭ 2020

Показать ответ и решение

Обозначим сумму кредита за $S = 550000$ рублей.

Кредит выплачен двумя равными платежами, то есть обозначим сумму выплаты за каждый год за $S1$ . Тогда сумма выплат будет равна $2S 1$ .

Составим таблицу с учетом этих данных. При этом значение в столбце "Сумма долга после выплаты" будет равно разности соответствующих значений по столбцам "Сумма долга после начисления процентов" и "Выплата":

год

Сумма долга

до начисления %

Сумма долга

после начисления %

Выплата

Сумма долга

после выплаты

$1$ год

$S$

$1,2S$

$S1$

$1,2S − S1$

$2$ год

$1,2S − S1$

$1,2 ⋅(1,2S − S1)$

$S1$

$1,2⋅(1,2S − S1)− S1$

По условию кредит погашен за 2 года, то есть сумма долга после выплаты за 2 год равна 0. Запишем это в виде уравнения:

$pict$

Подставим $S = 550000$ :

$pict$

Тогда общая сумма выплат $2S = 2 ⋅360000 = 720000 1$ .

Ответ: $720000$ рублей

Ответ:

720000 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#24487Максимум баллов за задание: 2

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на $20%$ по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн рублей?

Источники: ЕГЭ 2020

Показать ответ и решение

Кредит взят на $n$ лет, размер кредита равен $S = 5$ млн.

Так как размер кредита уменьшается равномерно, каждый год сумма долга уменьшается на $n1S$ млн.

Составим таблицу, учитывая, что значение в столбце "Выплата" вычисляется как разность соответствующих значений в столбцах "Сумма долга после начисления процентов" и "Сумма долга после выплаты" за этот год.


год	Сумма долга	Сумма долга	Выплата	Сумма долга
	до начисления %	после начисления %		после выплаты

$1$	$S$	$S + 0,2S$	$1nS + 0,2S$	$S − 1nS$

$2$	$S − 1nS$	$(S − 1nS )+ 0,2(S − 1nS )$	$1nS + 0,2(S − 1nS )$	$S − 1nS ⋅2$

$3$	$S − 1nS ⋅2$	$(S − 1nS ⋅2)+ 0,2(S − 1nS ⋅2)$	$1nS + 0,2(S − 1nS ⋅2)$	$S − 1nS ⋅3$

$...$	$...$	$...$	$...$	$...$

$k + 1$	$S − 1S ⋅k n$	$(S − 1S ⋅k)+ 0,2(S − 1S ⋅k) n n$	$1S + 0,2(S − 1S ⋅k) n n$	$S − 1 S ⋅(k+ 1) n$

$...$	$...$	$...$	$...$	$...$

$n$	$S − 1nS ⋅(n− 1)$	$(S − 1nS ⋅(n− 1))+ 0,2(S − 1nS ⋅(n− 1))$	$1n S + 0,2(S − 1nS ⋅(n − 1))$	$S − 1nS ⋅n = 0$