Тема . Задачи №18 из ЕГЭ прошлых лет

.00 №18 из ЕГЭ 2024

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи №18 из егэ прошлых лет
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#91277

Найдите все значения параметра a,  при каждом из которых уравнение

(           2)3  (           2)2   3|x−a|  2|x−a|
 1− (x + a+ 1)  −  1− (x +a + 1)   = 2    − 2

имеет хотя бы один корень.

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день, Центр

Показать ответ и решение

(           2)3  (           2)2   3|x−a|  2|x−a|
 1− (x + a+ 1)  −  1− (x +a + 1)   = 2    − 2

Пусть u = 1− (x + a+ 1)2,  v = 2|x−a|.  Тогда уравнение примет вид

 3   2   3   2
u − u = v − v .

Заметим, что (x+ a+ 1)2 ≥ 0  и |x− a|≥0.  Тогда

pict

Исследуем функцию

f(t)= t3 − t2 = t2(t− 1).

Если t ≤1,  то f(t)≤ 0.  Если t≥ 1,  то f(t)≥ 0.

Тогда так как u ≤1  и v ≥ 1,  то получаем, что f(u)≤ 0  и f(v)≥ 0,  то есть

0 ≥f(u)= u3− u2 = v3− v2 = f(v)≥ 0.

Значит, равенство достигается только при f(u)= 0= f(v).  Таким образом,

                                   [
                                 (||  u= 0
{f(u)= 0       {u2(u− 1)= 0      ||{  u= 1
           ⇔     2           ⇔   | [
 f(v)= 0        v (v − 1) =0      |||(  v = 0
                                    v = 1

Мы знаем, что v ≥ 1,  поэтому

([            ([
|{  u= 0       |{ 1 − (x+ a +1)2 = 0
   u= 1   ⇔     1 − (x+ a +1)2 = 1
|(v = 1        |(2|x− a| = 1

Решим последнее уравнение системы:

 |x− a|
2    = 1
2|x−a| = 20
|x− a|=0
 x− a= 0

  x =a

Тогда получаем

                    ( ⌊
(|{ [(2a +1)2 = 1      |||{ |a= 0
   (2a +1)2 = 0  ⇔     ⌈a= −1
|(                   |||  a= −0,5
  x= a              ( x= a

Таким образом, исходное уравнение имеет хотя бы один корень при

a ∈{− 1;− 0,5;0}.
Ответ:

a ∈{− 1;− 0,5;0}

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!