.00 №19 из ЕГЭ 2024

а) По условию оба числа должны делиться на 45, значит, каждое число делится и на 5, и на 9, так как 5 и 9 взаимнопросты.

По признаку делимости на 5, она числа должны заканчиваться на 0 или 5. Так как в наборе цифр у нас один 0 и одна 5, можно сказать, что первое число оканчивается на 5, а второе — на 0.

Остались цифры 1, 2, 3, 7, 9. По признаку делимости на 9, сумма цифр каждого из чисел должна делиться на 9. Тогда посмотрим какие цифры могут быть в одном числе с 0. Заметим, что их две или три. Сумму 9 двумя цифрами можно набрать так:

Пусть первое число состоит из цифр 2, 7 и 0. Тогда второе состоит из цифр 1, 3, 9 и 5, то есть сумма его цифр равна 18. Тогда как бы мы не расположили цифры в числах, они оба будут делится на 45. Значит, осталось подобрать правильный порядок цифр в числах.

Рассуждения выше можно не писать в решении на экзамене. Они приведены для того, чтобы читатель понял логику построения примера.

Например, если трёхзначным будет число 270, а четырёхзначным — число 1935, то их сумма будет равна

Заметим, что а

б) Если оба числа кратны 45, то и их сумма будет кратна 45. В частности, она также будет кратна 9. Но число 3435 не делится на 9:

Значит, эта сумма не может быть равна 3435.

в) По признаку делимости на 5, если число делится на 5, то оно оканчивается на 0 или на 5. Оба числа из условия должны делиться на 5, так как они делятся на 45. Тогда в одном из них на конце стоит 0, а в другом — 5.

По признаку делимости на 9, если число делится на 9, то и его сумма цифр делится на 9. Сумма всех цифр равна

Тогда у одного числа сумма цифр будет равна 18, а у другого — 9, потому что обе эти суммы должны быть больше 0.

Заметим, что если в числе есть 9, то в нем еще есть хотя бы одна ненулевая цифра, то есть сумма его цифр больше 9, а значит равна 18.

Если цифра 9 входит в трёхзначное число, то вторая цифра (не по счёту) у него либо 0, либо 5, но в таком случае третья должна быть либо 9, либо 4. Таких цифр нет, поэтому 9 содержится в четырёхзначном числе.

Тогда есть два варианта: либо в четырёхзначном числе есть 9 и 0, либо — 9 и 5.

1)

Если есть 9 и 0, то сумму 18 можно набрать только с цифрами 7 и 2. Тогда четырёхзначное число состоит из цифр 9, 7, 2, 0 и наибольшее число, которое из них можно составить, чтобы оно делилось на 45, равно 9720.

Тогда трёхзначное число состоит из цифр 5, 3, 1 и наибольшее число, которое из них можно составить, чтобы оно делилось на 45, равно 315.

Тогда сумма этих чисел равна

2)

Если есть 9 и 5, то сумму 18 можно набрать только с цифрами 3 и 1. Тогда четырёхзначное число состоит из цифр 9, 5, 3, 1 и наибольшее число, которое из них можно составить, чтобы оно делилось на 45, равно 9315.

Тогда трёхзначное число состоит из цифр 7, 2, 0 и наибольшее число, которое из них можно составить, чтобы оно делилось на 45, равно 720.

Тогда сумма этих чисел равна

Значит, максимально возможная сумма чисел равна 10035.