.00 №19 из ЕГЭ 2024

а) Пусть пара получена из пары Тогда имеем:

Поэтому пару можно получить из пары за одну операцию.

б) Пусть пара получена из некоторой пары Тогда

В случае, если предполагается, что эта пара может получиться из некоторой пары целых чисел то верна следующая система:

Тогда пара получена следующим образом:

При этом пара получена следующим образом:

в) Пусть пара, расстояние до которой нужно минимизировать, получена из пары Тогда нужно найти наименьшее из расстояний между парами и которые будут иметь вид:

Заметим, что числа и имеют одну четность:

Значит, числа и имеют разную чётность, поэтому расстояние между и нечётно, то есть не меньше 1.

Предположим, что минимальное расстояние равно 1, тогда

• Решим первую систему:

  

  Из первого уравнения получаем, что

  

  Тогда

  

  Заметим, что делится на 5, а 1 — нет. Значит, первая система уравнений не имеет решений.

• Решим вторую систему:

  

  Из второго уравнения получаем, что

  

  Тогда

  

  Заметим, что делится на 5, а 1 — нет. Значит, вторая система уравнений тоже не имеет решений.

Таким образом, расстояние 1 между парами и недостижимо.

Для следующего нечётного числа в качестве расстояния есть пример. Если то Тогда расстояние между парой и парой полученной из пары будет равно