.00 №19 из ЕГЭ 2024

Пусть исходные чисел равны …, Тогда их сумму можно вычислить так:

Меняем в их записи первую и вторую цифру местами, тогда сумма новых чисел равна

Пусть

а) Пусть сумма после операции увеличилась в 4 раза, тогда

Вычтем из второго уравнения первое:

Из этих данных уже достаточно просто можно получить пример.

Рассуждения выше можно не писать в решении на экзамене. Они приведены для того, чтобы читатель понял логику построения примера.

Пусть всего 20 чисел, в них Пусть

Тогда

Таким образом,

Итого изначально на доске написали 10 чисел 16 и 10 чисел 17.

б) Аналогично пункту а) составим систему и решим её:

Полученная система не имеет целых решений, так как 2310 не делится на 99, поэтому условие пункта б) невозможно.

в) Пусть сумма увеличилась в раз. Тогда

Заметим, что каждое из написанных чисел увеличилось не более чем в раза, значит,

Преобразуем второе уравнение:

Тогда оценим снизу:

Так как — целое, то

Заметим при этом, что

Приведем пример изначальных чисел, при которых сумма увеличилась в раза, то есть стала равна

Мы выяснили, что Тогда пусть изначально на доске было 18 чисел, при этом

Тогда

Если взять то действительно

Значит, если изначально на доске были написаны двенадцать чисел 18 и шесть чисел 19, то после операции из условия сумма чисел на доске изменилась с 330 на 1518.