.00 №19 из ЕГЭ 2023

а) Да, существуют, например, сумма для чисел 992 и 555 равна

б) Найдем наибольшую возможную сумму для пятизначных чисел. Для этого нужно взять числа 99999 и 99999. Тогда

Значит, хотя бы одна цифра чисел и меньше 9. Тогда сумма не больше

Таким образом, не существуют такие пятизначные числа и для которых

в) Покажем, как можно получить числа от 1 до 9 в виде суммы двузначных чисел:

	10	20	30	40	50	60	70	80	90
	10	10	10	10	10	10	10	10	10
	1	2	3	4	5	6	7	8	9

Теперь покажем, как можно получить числа от 10 до 18 в виде суммы двузначных чисел:

	91	92	93	94	95	96	97	98	99
	11	11	11	11	11	11	11	11	11
	10	11	12	13	14	15	16	17	18

Покажем, как можно получить числа от до в виде суммы двузначных чисел, где

	91	92	93	94	95	96	97	98	99

Таким образом, мы показали, как получить все числа от 1 до где то есть до 90, двузначными числами. Тогда четырехзначными числами мы тоже можем получить числа от 1 до 90, просто приписав два нуля в конце каждого из двузначных чисел.

Заметим, что этим же способом мы можем получить числа от 91 до 180, приписав к соответствующим двузначным числам не два нуля в конце, а 99 и 91.

Таким образом, мы можем получить числа от 1 до 180.

Покажем, как получить числа от 163 до 252. Для этого к нашим двузначным числам, дающим числа от 1 до 90, допишем в конце по две девятки. Тогда сумма получившихся чисел будет находиться от до

Осталось получить числа 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259 и 260:

• Сумма для чисел 9992 и 9995 равна 253:

  

• Сумма для чисел 9987 и 9984 равна 254:

  

• Сумма для чисел 8889 и 8887 равна 255:

  

• Сумма для чисел 8888 и 8888 равна 256:

  

• Сумма для чисел 9888 и 9886 равна 257:

  

• Сумма для чисел 9887 и 9887 равна 258:

  

• Сумма для чисел 9995 и 9985 равна 259:

  

• Сумма для чисел 9997 и 9885 равна 260:

  

Таким образом, все числа от 1 до 260 можно получить в виде суммы для двух некоторых четырехзначных чисел.