Тема Задачи №19 из ЕГЭ прошлых лет

№19 из ЕГЭ 2023

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#65027Максимум баллов за задание: 4

Имеются контейнеры массой в 2 тонны и 7 тонн и корабли с грузоподъемностью в 10 тонн.

а) Можно ли 12 контейнеров массой 7 тонн и 24 контейнера массой 2 тонны погрузить на 15 кораблей?

б) Можно ли 12 контейнеров массой 7 тонн и 18 контейнеров массой 2 тонны погрузить на 13 кораблей?

в) Какое наименьшее количество кораблей требуется для погрузки 12 контейнеров массой 7 тонн и 47 контейнеров массой 2 тонны?

Источники: ЕГЭ 2023, резервная волна, Калужская обл.

Показать ответ и решение

а) Да, можно. На 12 кораблей погрузим по 2 контейнера: семитонный и двухтонный. На 2 корабля погрузим по 5 двухтонных контейнеров, на оставшийся корабль — два оставшихся контейнера.

б) Нет, нельзя. Предположим, что мы смогли разместить грузы на 13 кораблях. Заметим, что семитонный контейнер не может находиться на одном корабле с другим семитонным контейнером. Тогда семитонные грузы есть на 12 кораблях. На каждый из этих кораблей можно поставить еще не более одного двухтонного контейнера, а на пустой корабль — не более пяти двухтонных контейнеров. Тогда всего мы можем разместить не более $12+ 5= 17$ двухтонных контейнеров, а их 18, противоречие. Значит, на 13 кораблях нельзя разместить требуемый груз.

в) Покажем, что меньше чем 19 кораблей не хватит. Действительно, никакие 2 семитонных контейнера не могут находиться на одном корабле. Значит, семитонные контейнеры занимают 12 кораблей. На эти 12 кораблей можно погрузить еще не более 12 двухтонных контейнеров (по одному на каждый). Останется не более 6 кораблей. На каждом можно разместить не более 5 двухтонных контейнеров. Итого на этих кораблях мы сможем разместить не более $12+ 6⋅5 = 12 +30 = 42$ двухтонных контейнеров, а нужно разместить 47. Значит, требуется хотя бы 19 кораблей.

Покажем, как разместить контейнеры на 19 кораблях. На 12 кораблей погрузим по 2 контейнера: 1 семитонный и 1 двухтонный. Останется 7 кораблей и 35 двухтонных контейнеров. На 7 кораблей погрузим по 5 двухтонных контейнеров. Так мы смогли погрузить все контейнеры на 19 кораблей и показали, что на меньшее число кораблей эти контейнеры распределить не получится.

Ответ:

а) Да

б) Нет

в) 19

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#65028Максимум баллов за задание: 4

Дано квадратное уравнение $x2− px +q =0$ с натуральными коэффициентами $p$ и $q$ и с натуральными корнями $x1$ и $x2.$

а) Найдите все различные значения $p,$ если $q = 4.$

б) Может ли быть $p < 8,$ если $q > 20?$

в) Найдите наименьшее значение $p,$ если $q > 20.$

Источники: ЕГЭ 2023, резервная волна, Москва

Показать ответ и решение

а) По теореме Виета мы знаем, что $x1x2 =4$ и $x1+ x2 = p.$ Так как корни натуральные, а число 4 можно разложить на натуральные множители двумя способами: $2⋅2$ и $1⋅4,$ то $p$ может принимать два различных значения: $2 +2 = 4$ или $1+ 4= 5.$

б) По теореме Виета мы знаем, что $x1x2 = q > 20$ и $x1+ x2 = p.$ Предположим, что $p< 8.$ Тогда мы знаем, что

{ (x1 +x2)2 = p2 < 82 = 64 −4x1x2 = −4q < − 4⋅20= −80

Следовательно,

(x1+ x2)2− 4x1x2 < 64− 80 2 2 x1− 2x1x2+ x22 < −16 (x1− x2) < 0

Такого быть не может, так как любой квадрат неотрицателен, значит, $p ≥8.$

в) Сначала докажем, что $p$ может принимать значение 10. Действительно, пусть $x1 =x2 = 5.$ Тогда $p= x1+ x2 =5 +5 = 10,$ $q = x1x2 = 5⋅5= 25> 20.$

Теперь осталось понять, что значения 8 и 9 не достигаются (про значения $p <8$ доказано в пункте б). По теореме Виета мы знаем, что $x1x2 = q > 20$ и $x1+ x2 = p.$ Тогда $x2 = p− x1.$ Значит,

$x1(p− x12)> 20 px1− x1 > 20$

Заметим, что $2 f(x1)= px1− x1$ — это парабола с отрицательным старшим коэффициентом, она принимает наибольшее в значение в вершине, то есть при $p x1 = 2.$

Если $p = 8,$ то при $x1 = 4$ имеем

px1− x21 = 8⋅4− 42 = 32− 16= 16< 20.

Следовательно, $p⁄= 8.$

Если $p = 9,$ то $p 2 = 4,5.$ Так как корни уравнения — натуральные числа, то $f(x1)$ принимает наибольшее значение в одной из точек 4 или 5. Проверим обе:

1.: $x1 = 4.$ Тогда $px1− x21 = 9⋅4− 42 = 20;$
2.: $x1 = 5.$ Тогда $px1− x21 = 9⋅5− 52 = 20.$

Таким образом, $p ⁄= 9.$ Значит, при $q > 20$ наименьшее значение $p$ равно 10.

Ответ:

а) 4; 5

б) Нет

в) 10

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#65029Максимум баллов за задание: 4

Дано квадратное уравнение $x2− px +q =0$ с натуральными коэффициентами $p$ и $q$ и с натуральными корнями $x1$ и $x2.$

а) Найдите все различные значения $p,$ если $q = 5.$

б) Может ли быть $p < 10,$ если $q > 30?$

в) Найдите наименьшее значение $p,$ если $q > 30.$

Источники: ЕГЭ 2023, резервная волна, Москва

Показать ответ и решение

а) По теореме Виета мы знаем, что $x1x2 =5$ и $x1+ x2 = p.$ Так как корни натуральные, а число 5 — простое, то один из корней равен 1, а другой корень равен 5. Тогда $p= 1+ 5= 6.$

б) По теореме Виета мы знаем, что $x1x2 = q > 30$ и $x1+ x2 = p.$ Предположим, что $p< 10.$ Тогда мы знаем, что

{ (x1+ x2)2 =p2 < 102 =100 − 4x1x2 =− 4q < −4 ⋅30 = −120

Следовательно,

(x1+ x2)2− 4x1x2 < 100− 120 2 2 x1− 2x1x2+ x2 < −20 (x1− x2)2 < 0

Такого быть не может, так как любой квадрат неотрицателен, значит, $p ≥10.$

в) Сначала докажем, что $p$ может принимать значение 12. Действительно, пусть $x1 =x2 = 6.$ Тогда $p= x1+ x2 =6 +6 = 12,$ $q = x1x2 = 6⋅6= 36> 30.$

Теперь осталось понять, что значения 10 и 11 не достигаются (про значения $p <10$ доказано в пункте б). По теореме Виета мы знаем, что $x1x2 = q > 30$ и $x1+ x2 = p.$ Тогда $x2 = p− x1.$ Значит,

$x1(p− x1)> 30 px1− x21 > 30$

Заметим, что $f(x)= px1− x21$ — это парабола с отрицательным старшим коэффициентом, она принимает наибольшее в значение в вершине, то есть при $p x1 = 2.$

Если $p = 10,$ то при $x1 = 5$ имеем

px1 − x21 =10 ⋅5 − 52 = 50 − 25 = 25 < 30.

Следовательно, $p⁄= 10.$

Если $p = 11,$ то $p 2 = 5,5.$ Так как корни уравнения — натуральные числа, то $f(x)$ принимает наибольшее значение в одной из точек 5 или 6. Проверим обе:

1.: $x1 = 5.$ Тогда $px1 − x21 =11 ⋅5− 52 = 30;$
2.: $x1 = 6.$ Тогда $px1 − x21 =11 ⋅6− 62 = 30.$

Таким образом, $p ⁄= 11.$ Значит, при $q > 30$ наименьшее значение $p$ равно 12.

Ответ:

а) 6

б) Нет

в) 12