Тема Задачи №19 из ЕГЭ прошлых лет

№19 из ЕГЭ 2021

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#13561Максимум баллов за задание: 4

Дано трёхзначное число $A,$ сумма цифр которого равна $S.$

а) Может ли выполняться равенство $A ⋅S =1105?$

б) Может ли выполняться равенство $A ⋅S =1106?$

в) Какое наименьшее значение может принимать выражение $A ⋅S,$ если оно больше 1503?

Источники: ЕГЭ 2021, основная волна

Показать ответ и решение

а) Разложим 1105 на простые множители: $1105= 5⋅13⋅17.$ Значит, возможны три пары чисел $(A,S):$

(221,5), (85,13), (65,17)

Заметим, что первая пара подходит под условие:

221⋅(2 + 2+ 1) =221 ⋅5 = 1105

б) В задаче нас просят проверить некоторые утверждения о произведении трёхзначного числа и его суммы цифр. Значит, нужно понять, какими свойствами обладает данное произведение и сами множители.

Так как $S$ — это сумма цифр трёхзначного числа, то

S ≤ 9+ 9+ 9= 27

Ещё по признаку равноостаточности $S$ дает такой же остаток при делении на 3, что и число $A.$ Если этот остаток равен 0, то остаток произведения тоже равен 0. Если же остаток $S$ при делении на 3 равен 1 или 2, то остаток произведения равен 1.

Значит, произведение $A ⋅S$ не может иметь остаток 2 при делении на 3.

Число 1106 имеет остаток 2 при делении на 3, так как

1+ 1+ 0+ 6= 8= 3 ⋅2 +2

Такое невозможно. Значит, $A⋅S ⁄= 1106.$

в) Число 1503 делится на 3, поэтому число 1504 имеет остаток 1 при делении на 3 и теоретически $A ⋅S$ может быть равно 1504. Разложим 1504 на простые множители: $1504 =25⋅47.$ Так как $S ≤ 27,$ то возможны только четыре пары чисел $(A,S).$ Это пары

(752,2), (376,4), (188,8), (94,16)

Во всех парах сумма цифр числа $A$ не равна числу $S.$ Значит $A ⋅S ⁄= 1504.$

Число 1505 имеет остаток 2 при делении на 3, поэтому $A ⋅S ⁄= 1505.$

Число 1506 делится на 3. Но если какое-то из чисел $A$ и $S$ делится на 3, то второе тоже делится на 3. Значит, произведение $A ⋅S$ кратно 9. Но 1506 не делится на 9, поэтому $A⋅S ⁄= 1506.$

Разложим 1507 на простые множители: $1507 =11 ⋅137.$ Этот вариант подходит, так как $1+ 3+ 7= 11.$ Значит, наименьшее значение, которое может принимать выражение $A ⋅S > 1503,$ равно 1507.

Ответ:

а) Да

б) Нет

в) 1507

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#13939Максимум баллов за задание: 4

Трёхзначное натуральное число поделили на сумму его цифр. Известно, что полученное частное — целое число.

а) Могло ли получиться 13?

б) Могло ли получиться 6?

в) Какое наибольшее частное могло получиться, если число не делится на 100, а его первая цифра равна 6?

Источники: ЕГЭ 2021, основная волна

Показать ответ и решение

Пусть дано трёхзначное число $--- abc,$ где $--- abc= 100a+ 10b+ c,$ а сумма его цифр равна $a+ b+ c.$

а) Если частное числа $--- abc$ и его суммы цифр равно $13,$ то

abc- a-+-b+c = 13 ⇔ 100a + 10b+ c= 13a+ 13b+ 13c ⇔ 87a = 3b+12c ⇔ 29a= b+ 4c

Так как $b$ и $c$ — цифры, то $b+ 4c≤ 9+ 4⋅9= 45.$ Значит, $a$ должно быть маленьким, ведь при $a = 2$ уже $29⋅2> 45.$ При $a =1,$ $b= 1$ и $c= 7$ равенство выполняется. Проверим число $abc= 117:$

117 :(1 +1 +7)= 117:9 = 13

б) Пусть возможно такое, что частное числа $abc-$ и его суммы цифр равно $6,$ тогда

--- --abc-- a+ b+ c = 6 ⇔ 100a+ 10b+ c= 6(a +b +c) ⇔ 94a+ 4b= 5c

Оценим $5c.$ Так как $c≤ 9,$ то

5c≤ 45 ⇒ 94a+ 4b≤ 45

Но так как $--- abc$ — трёхзначное число, то $a≥ 1$ и $94a+ 4b≥ 94.$ Получили противоречие, значит, частное числа $--- abc$ и его суммы цифр не может равняться 6.

в) Если исходить из условия, то задача сводится к тому, что нужно найти максимум следующей дроби:

--- --6bc--= 600+-10b+-c= 6+ b+ c 6+ b+ c = 6+-b+-c+ -594-+9b = 1+ 594+-9b 6+ b+ c 6 + b+c 6+ b+ c

На первый взгляд кажется, что нужно просто потребовать $c =0$ и найти максимум выражения. Но все не так просто, так как в таком случае мы отбрасываем все варианты, где $b= 0.$ Поэтому построим сначала некоторую табличку для случаев, когда $b= 1,2,...,9, c= 0,1,...,9:$

|-----|----------|---------|---------|---|-----| |-----|---b=-1---|--b=-2---|--b=-3---|...-|b=-9-| | | 610 1 |620 1 | 630 | |690 | |c-=-0|-7--=-877-|-8-=-772-|--9-=-70-|...-|-15--| | | 611 | 621 | | | | |c = 1| -8- | -9- | ... |... | ... | |-...-|----...----|---...---|---...---|...-|-...--| |-----|----------|---------|---------|---|-----| |c = 9| 619 | 629 | ... |... | ... | -----------16--------17------------------------|

Обратим внимание на несколько вещей.

Внутри каждого столбца чем больше значение $c,$ тем меньше значение дроби.
Все числа, содержащиеся в столбцах для $b> 3,$ нам не подходят, так как при $b = 3, c= 0$ достигается значение 70, а при $b > 3,c =0$ все значения $< 70.$

Таким образом, чтобы найти число, при котором достигается максимум (внутри данной таблицы), осталось проверить два первых столбца.

|---------|--------| |--b=-1---|--b=-2--| |611= 763 |621 = 69| |-8-----8-|-9------| | 612- | | |-9--=-68-|---...---| ----...--------...----

Данная таблица показывает, что в первых двух столбцах нет целых чисел $> 70.$ Дальнейшая проверка не нужна, так как при увеличении $c$ числа уменьшаются.

Осталось проверить лишь случай, когда $b =0 :$

$b= 0,c = 1:$ в данном случае получается $6017-= 85 67.$
$b= 0,c = 2:$ в данном случае получается $602 1 -8-= 75 4.$
$b= 0,c = 3:$ в данном случае получается $603-= 67. 9$

Дальнейшая проверка снова не нужна, так как при увеличении $c$ результат деления уменьшается. Таким образом, мы убедились, что нельзя получить в результате деления целое число, большее чем 70.

Ответ:

а) Да

б) Нет

в) 70

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4

Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3

Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2

Верно получен один из следующий результатов: — пример в пункте а); — обоснованное решение в пункте б); — искомая оценка в пункте в); — пример в пункте в), обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#24441Максимум баллов за задание: 4

Даны три различных натуральных числа такие, что второе число равно сумме цифр первого, а третье — сумме цифр второго.

а) Может ли сумма трёх чисел быть равной 420?

б) Может ли сумма трёх чисел быть равной 419?

в) Сколько существует таких троек чисел, что первое число — трёхзначное, а последнее равно 5?

Источники: ЕГЭ 2021, основная волна

Показать ответ и решение

По признакам делимости на 3 и на 9 число и его сумма цифр имеют одинаковые остатки при делении на 3 и на 9 соответственно. Поэтому все три числа имеют одинаковые остатки при делении на 3, значит их сумма делится на 3, так как сумма их остатков делится на 3.

а) Число $420$ делится на $3$ , поэтому нужно попробовать найти пример. Для начала поймем, каким может быть первое число. Оно меньше $420$ , но является трёхзначным, иначе сумма трёх чисел не больше, чем $99+ 18+ 9< 420.$

Тогда если первое число

--- n1 = abc =100a+ 10b+ c

то $a ≤4.$ Второе число не больше $9+ 9+ 9= 27,$ но является двузначным, иначе третье число будет равно второму, а числа по условию различны.

Тогда если второе число

-- n2 = S(n1)= a+ b+ c= de= 10d+ e

то $0 <d ≤ 2.$ Рассмотрим сумму трех чисел:

--- -- -- n1+ n2+ n3 = abc+de +S(de)= 100a+ 10b +c+ 10d+ e+ d+ e= 99a+ 9b+ 21d+ 3e

Пусть $a = 4.$ Тогда для суммы трех чисел имеем:

99 ⋅4+ 9b +21d+ 3e= 420 ⇒ 132+ 3b+ 7d+ e= 140 ⇒ 3b+ 7d +e = 8

Так как $d> 0,$ то $d= 1$ . Значит, $3b+ e= 1.$ Подходят $b = 0$ и $e= 1.$ То есть

11 =n2 = a+ b+ c= 4+ 0+ c ⇒ c= 7

Проверим получившееся число:

407+ S(407)+ S(S (407))= 407 +11 +S(11)= 418+ 2= 420

Ответ: сумма трёх чисел может быть равна $420.$

б) Если три числа имеют одинаковые остатки $r$ при делении на 3, то их сумма равна

(3k1 +r)+ (3k2+ r)+ (3k3+ r) =3(k1+ k2+ k3)+3r

Это число кратно 3. Как было показано выше, числа из условия имеют одинаковые остатки при делении на 3, поэтому их сумма должна делиться на 3, но 419 не кратно 3, поэтому сумма трёх чисел не может быть равна 419.

Ответ: сумма трёх чисел не может быть равна 419.

в) Если последнее число равно 5, то первые два числа имеют остаток 5 при делении на 9, значит, первое число имеет вид $9k+ 5$ . Так как первое число — трёхзначное, то

99< 9k+ 5 <1000 ⇒ 94< 9k < 995 ⇒ 11 ≤ k ≤ 110.

То есть всего существует 100 трёхзначных чисел, которые дают остаток 5 при делении на 9. Сумма цифр такого числа может равнятся 5, 14 и 23. Но второе число должно быть двузначным, иначе оно будет равно третьему числу. Значит, нам нужно найти количество трёхзначных чисел, сумма цифр которых равна 5, и вычесть их количество из 100, потому что они нам не подходят.

Переберем всевозможные варианты первой цифры. Она не меньше 1, но не больше 5.

Если первая цифра такого числа равна 5, то такое число одно — 500.

Если первая цифра равна 4, то есть два варианта: 401 и 410.

Если первая цифра равна 3, то есть три варианта: 302, 311 и 320.

Если первая цифра равна 2, то есть четыре варианта: 203, 212, 221 и 203.

Если первая цифра равна 1, то есть пять вариантов: 104, 113, 122, 131 и 140.

Всего мы получили $1+ 2 +3 +4 +5 = 15$ трёхзначных чисел с суммой цифр 5. Они нам не подходят, поэтому троек чисел, подходящих под условие, всего $100− 15= 85.$

Ответ:

а) Да, может. Например, $407+ 11+ 2= 420$

б) Нет, не может

в) $85$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#24442Максимум баллов за задание: 4

Трёхзначные натуральные числа делятся на сумму их цифр. Известно, что полученное частное — целое число.

а) Может ли получиться 55?

б) Может ли получиться 87?

в) Найдите наименьшее возможное частное, если число не делится на 100, а его первая цифра равна 7.

Источники: ЕГЭ 2021, основная волна

Показать ответ и решение

Пусть дано трёхзначное число $--- abc.$ Тогда $--- abc =100a+ 10b+ c$ , его сумма сумма цифр равна $a+ b+ c.$

а) Если частное числа $--- abc$ и его суммы цифр равно $55,$ то

abc a+-b+-c = 55 ⇔ 100a+ 10b+ c= 55a+ 55b +55c ⇔ 45a= 45b+ 54c ⇔ 5a= 5b+ 6c

Видно, что при $a= 1,$ $b =1,$ и $c= 0$ равенство выполняется. Проверим число $abc-=110 :$

110:(1+ 1+ 0)= 110:2 =55.

Ответ: да, может, $110= 55. 2$

б) Пусть возможно такое, что частное числа $abc-$ и его суммы цифр равно $87,$ тогда

--- --abc-- a+ b+ c = 87 ⇔ 100a+ 10b+ c= 87(a+ b+ c) ⇔ 13a= 77b+86c.

Оценим $13a.$ Так как $a≤ 9,$

13a ≤117 ⇒ 77b+ 86c≤ 117

Тогда либо $b= 1$ и $c= 0,$ либо $b =0$ и $c= 1.$ Но ни 77, ни 86 не кратно 13, поэтому частное числа $--- abc$ и его суммы цифр не может равняться $87.$

Ответ: нет, не может.

в) Пусть $7bc= n(7+ b+ c),$ где $n$ — натуральное. Тогда

n = 700-+10b+-c-= 7+-b+-c+ 693+-9b= 1 + 693-+9b- ⇔ n− 1= -693-+9b = 9(b-+77) 7 +b +c 7+ b+ c 7+ b+ c 7+ b+c 7 +b +c 7+ b+ c

Так как $n$ — целое, то $(n − 1)$ тоже целое. По условию $--- 7bc$ не делится на 100. Это значит, что хотя бы одна из цифр $b$ и $c$ ненулевая, следовательно, $0< b+ c≤ 9+ 9= 18.$

Нужно найти наименьшее целое значение $(n− 1)$ . Для этого разберем все возможные случаи суммы $b+ c.$ Если в каком-то случае мы получим, что число $9(b+ 77)$ не делится нацело на $7+ b+ c,$ то это будет означать, что рассматриваемый вариант невозможен.

Пусть $b+ c= 18.$ Тогда $b= c= 9$ и число $9(b+ 77) =9 ⋅86$ не кратно $7+ 18 = 25.$
Пусть $b+ c= 17.$
- Если $b= 9,$ $c =8$ , то число $9(9+ 77) =9 ⋅86$ не кратно $7+ 17= 24.$
- Если $b= 8,$ $c =9$ , то число $9(8+ 77) =9 ⋅85$ не кратно $7+ 17= 24.$
Пусть $b+ c= 16.$
- Если $b= 9,$ $c =7$ , то число $9(9+ 77) =9 ⋅86$ не кратно $7+ 16= 23.$
- Если $b= 8,$ $c =8$ , то число $9(8+ 77) =9 ⋅85$ не кратно $7+ 16= 23.$
- Если $b= 7,$ $c =9$ , то число $9(7+ 77) =9 ⋅84$ не кратно $7+ 16= 23.$
Пусть $b+ c= 15.$
- Если $b= 9,$ $c =6$ , то число $9(9+ 77) =9 ⋅86$ не кратно $7+ 15= 22.$
- Если $b= 8,$ $c =7$ , то число $9(8+ 77) =9 ⋅85$ не кратно $7+ 15= 22.$
- Если $b= 7,$ $c =8$ , то число $9(7+ 77) =9 ⋅84$ не кратно $7+ 15= 22.$
- Если $b= 6,$ $c =9$ , то число $9(6+ 77) =9 ⋅83$ не кратно $7+ 15= 22.$
Пусть $b+ c= 14.$
- Если $b= 9,$ $c =5$ , то число $9(9+ 77) =9 ⋅86$ не кратно $7+ 14= 21.$
- Если $b= 8,$ $c =6$ , то число $9(8+ 77) =9 ⋅85$ не кратно $7+ 14= 21.$
- Если $b= 7,$ $c =7$ , то
  $n− 1= 9(7+-77)= 9-⋅84 = 3⋅12= 36 ⇒ n =36 +1 = 37 7+ 14 3⋅7$
- Если $b= 6,$ $c =8$ , то число $9(6+ 77) =9 ⋅83$ не кратно $7+ 14= 21.$
- Если $b= 5,$ $c =9$ , то число $9(5+ 77) =9 ⋅82$ не кратно $7+ 14= 21.$
Пусть $b+ c= 13.$
- Если $b= 9,$ $c =4$ , то число $9(9+ 77) =9 ⋅86$ не кратно $7+ 13= 20.$
- Если $b= 8,$ $c =5$ , то число $9(8+ 77) =9 ⋅85$ не кратно $7+ 13= 20.$
- Если $b= 7,$ $c =6$ , то число $9(7+ 77) =9 ⋅84$ не кратно $7+ 13= 20.$
- Если $b= 6,$ $c =7$ , то число $9(6+ 77) =9 ⋅83$ не кратно $7+ 13= 20.$
- Если $b= 5,$ $c =8$ , то число $9(5+ 77) =9 ⋅82$ не кратно $7+ 13= 20.$
- Если $b= 4,$ $c =9$ , то число $9(4+ 77) =9 ⋅81$ не кратно $7+ 13= 20.$
Пусть $b+ c≤ 12.$ Тогда
$n − 1= 693+-9b≥ 693-+9-⋅0 = 693> 36 ⇒ n > 36+ 1= 37 7+ b+ c 7+ 12 19$
Первое неравенство верно, потому что у правой дроби числитель меньше либо равен числителя дроби слева ( $693+ 9b≥ 693+ 9⋅0$ ), а знаменатель больше либо равен знаменателя дроби слева ( $7+ 12≥ 7+ b+ c$ ). Получили, что в этом случае, какие бы мы не брали $b$ и $c$ , мы всё равно получим $n> 37.$

Получается, наименьшее возможное значение частного $n = 37$ . Оно достигается при $abc= 777.$

Ответ:

а) Да, может

б) Нет, не может

в) $37$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#24439Максимум баллов за задание: 4

Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из трёхзначных натуральных чисел, равен 128. Известно, что в прогрессии не меньше трёх чисел.

а) Может ли число 686 являться членом такой прогрессии?

б) Может ли число 496 являться членом такой прогрессии?

в) Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?

Источники: ЕГЭ 2021, досрочная волна

Показать ответ и решение

а) Если число 686 является $k$ -ым членом геометрической прогрессии, первый член которой равен 128, а знаменатель равен $q,$ то

3 3 ( )3 qk−1 = 686= 7-7⋅2 = 76 = 7 128 2 2 4

Тогда если геометрическая прогрессия начинается со 128 и имеет знаменатель $q = 7, 4$ то её четвертое число равно 686.

б) Если число 496 является $k$ -ым членом геометрической прогрессии, первый член которой равен 128, а знаменатель равен $q,$ то

4 qk−1 = 496= 31-⋅72-= 313 128 2 2

Так как 31 — простое множитель, а числа в прогрессии целые, 496 может быть только вторым числом. Если это так, то $496- 31 q = 128 = 8$ и третье число равно

4 31 2 496q = 31⋅2 ⋅23 =31 ⋅2 =1922

Но по условию прогрессия должна состоять хотя бы из трёх трёхзначных чисел. Противоречие. Значит, геометрическая прогрессия не может содержать число 496.

в) Если прогрессия состоит хотя бы из трёх чисел, то

1000 125 144 128q2 < 1000 ⇒ q2 < 128-= 16-< 16-= 9 ⇒ q < 3

Если $q ≤ 1,$ наибольшее число прогрессии будет равно 128, поэтому $q > 1.$

Так как числа в последовательности натуральные, то $q$ должно иметь вид $q = a. b$ При этом $b$ может являться только степенью двойки. Так как $2 128q$ — натуральное, то $3 b≤ 2.$ Тогда $a q = 8 < 3.$ Отсюда $8< a <24.$

При $a= 23$ третье число равно $128q2 =1058$ — четырехзначное, не подходит.

При $a= 22$ третье число равно $128q2 =968.$

Если $a < 22,$ то третье число меньше 968. Значит, наибольшее возможное значение третьего числа последовательности равно 968. Тогда рассмотрим случай, когда последовательность состоит хотя бы из четырех чисел. Это значит, что

3 3 1000 125 128 128q < 1000 ⇒ q < 128-= 16-< 16-= 8 ⇒ q < 2

По аналогии с предыдущим разобранным случаем $q$ должно иметь вид $a q = 4 <2.$ Отсюда $4 < a< 8.$

При $a= 7$ наибольший целый член прогрессии равен $128q3 =686.$ При $a = 5$ наибольший целый член равен $128q3 = 250.$

При $a= 6$ знаменатель прогрессии равен $q = 3, 2$ а сама прогрессия состоит из чисел

128, 192, 288, 432, 648, 972

После числа 972 должно идти число 1458, но оно уже не является трехзначным, значит, наибольшее число, которое может являться членом прогрессии, равно 972.

Ответ:

а) Да, может

б) Нет, не может

в) 972

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4

Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3

Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2

Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в пункте а); — обоснованное решение в пункте б); — искомая оценка в пункте в); — пример в пункте в), обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#24440Максимум баллов за задание: 4

В последовательности из 80 целых чисел каждое число (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних чисел. Первый и последний члены последовательности равны 0.

а) Может ли второй член такой последовательности быть отрицательным?

б) Может ли второй член такой последовательности быть равным 20?

в) Найдите наименьшее значение второго члена такой последовательности.

Источники: ЕГЭ 2021, досрочная волна

Показать ответ и решение

Рассмотрим три подряд идущих числа последовательности. Пусть это числа $an−1,$ $an$ и $an+1.$

По условию имеем

a + a an >-n+1-2-n−1 ⇔ 2an > an+1 +an−1 ⇔ an − an−1 >an+1− an

Значит, последовательность ${rn}$ из разностей $n +1$ -го и $n$ -го чисел является строго убывающей последовательностью. То есть $rn > rn+1,$ где $rn = an+1− an.$ Пусть $R =r1+ r2+ ⋅⋅⋅+ r79$ — сумма последовательности разностей.

Заметим, что

a80 = a79+ (a80− a79)= a79+ r79 = ...a1 +r1+ r2+ ⋅⋅⋅+ r79 ⇒

⇒ a80− a1 = R

По условию $a80 = a1 = 0,$ поэтому $R = 0.$

а) Пусть второй член может быть отрицательным. Тогда первый член последовательности разностей равен

r1 =a2 − a1 =a2 − 0 = a2 < 0

Так как последовательность разностей ${rn}$ строго убывает, все её члены отрицательны. Значит, сумма всех ее членов $R$ тоже отрицательна. Но по доказанному ранее $R = 0$ . Противоречие. Значит, второй член последовательности не может быть отрицательным.

б) Пусть второй член может равнятся 20. Так как $ri$ — целые числа, из строгого неравенства $rn+1 < rn$ следует нестрогое $rn+1 ≤ rn− 1.$ Тогда из $rn < r1$ следует $rn ≤ r1− (n− 1).$

0 = R = r1+ r2+ ⋅⋅⋅+ r79 ≤ r1 +(r1− 1)+ (r1− 2)+ ⋅⋅⋅+ (r1 − 78)=

78⋅79 = 79r1− 2 = 79(r1− 39)

Значит, $r1 ≥ 39.$ Но $r1 =a2 − a1 = 20.$ Противоречие. Второй член последовательности не может быть равен 20.

в) Из предыдущего пункта мы получили оценку на $r1 ≥ 39.$ Так как по условию $a1 = 0,$ то $a2 ≥39.$ Построим пример последовательности, в которой $a2 = 39.$

Для этого должны выполняться равенства для $rn+1 =rn − 1$ для всех $n$ от 1 до 79. То есть последовательность разностей выглядит так: $39, 38, 37,..., −38, − 39.$ Тогда исходная последовательность: $0, 39, 77,..., 77, 39, 0.$ Она подходит под условие задачи и наименьшее значение второго члена равно 39.

Ответ:

а) Нет, не может

б) Нет, не может

в) 39