Тема Задачи №19 из ЕГЭ прошлых лет

№19 из ЕГЭ 2020

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#13940Максимум баллов за задание: 4

На доске написано $n$ единиц, между некоторыми из которых поставили знаки «+» и посчитали сумму. Например, если изначально было написано $n= 12$ единиц, то могла получиться сумма

1 +11+ 11+ 111+ 11+ 1+ 1= 147

а) Могла ли сумма равняться 150, если $n = 60?$

б) Могла ли сумма равняться 150, если $n = 80?$

в) Чему могло равняться $n,$ если полученная сумма равна 150?

Показать ответ и решение

Во всех трёх пунктах полученная сумма равняется 150, отличается лишь количество единиц. Понятно, что все слагаемые будут числами, состоящими из единиц, и все они не могут быть 1111 и больше, так как сумма в этом случае будет явно больше 150. То есть все слагаемые будут вида 1, 11 или 111. Заметим, что может быть максимум одно слагаемое 111, иначе сумма будет не менее 222, что больше 150.

а) Если слагаемое 111 в сумме есть, то осталось составить сумму $150 − 111 =39$ из слагаемых 1 и 11. Но даже из $60− 3 =57$ единиц сделать это невозможно, ведь они в сумме дадут как минимум 57.

Значит, все слагаемые равны 1 или 11. Пусть $x$ слагаемых равны 11, тогда оставшиеся $60− 2x$ слагаемых равны 1. Можем составить уравнение:

11x +1 ⋅(60− 2x)= 150 ⇔ 9x+ 60= 150 9x= 90 ⇔ x =10

Получили, что такое возможно, если взять 10 слагаемых по 11 и 40 слагаемых по 1.

б) Аналогично рассуждениям из пункта а) понимаем, что из $80− 3= 77$ единиц составить сумму 39 невозможно, значит, слагаемого 111 быть не могло. Пусть $x$ слагаемых равны 11, тогда $80− 2x$ слагаемых равны 1. Можем составить уравнение:

11x+ 1⋅(80− 2x) =150 9x+ 80= 150 ⇔ 9x= 70

Данное уравнение имеет только нецелое решение, значит, $n = 80$ быть не могло.

в) Если слагаемое 111 в сумме есть, то осталось составить сумму $150 − 111 =39$ из слагаемых 1 и 11. Очевидно, что слагаемых, равных 11, будет не больше 3 (иначе сумма будет минимум 44). Тогда разберем 4 возможных случая и посчитаем чему равно $n,$ то есть сколько единиц написано на доске при данном количестве слагаемых:

$11− 0 слагаемы х ⇒ 1− 39 слагаемы х ⇒ n= 3+ 39= 42$
$11− 1 слагаемое ⇒ 1− 28 слагаемых ⇒ n = 3+ 2+ 28= 33$
$11− 2 слагаемы х ⇒ 1− 17 слагаемы х ⇒ n= 3+ 4 +17 =24$
$11− 3 слагаемы х ⇒ 1− 6 слагаемы х ⇒ n= 3 +6 +6 = 15$

Если числа 111 в сумме нет, то все слагаемые равны 1 или 11. Пусть $x$ слагаемых равны 11, тогда $n − 2x$ слагаемых равны 1. Можем составить уравнение:

11x+ 1⋅(n− 2x)= 150 9x +n = 150 ⇔ n= 150− 9x

Нужно найти все возможные $n ∈ℕ$ при условии, что $x$ — целое неотрицательное. Понятно, что $x ≤16,$ иначе $n$ будет меньше 0.

Также нужно учитывать, что $n− 2x≥ 0,$ то есть

n ≥ 2x ⇒ 150− 9x≥ 2x 150 11-≥ x ⇒ 13 ≥x

Таким образом, подходят все $x$ от 0 до 13. Подставим все возможные значения $x$ в уравнение и получим, что $n$ может быть равно одному из чисел

33, 42, 51, 60, 69, 78, 87, 96 105, 114, 123, 132, 141, 150

Добавляем возможные $n,$ когда есть слагаемое 111. Из еще не перечисленных это значения 15 и 24.

Ответ:

а) Да, могла

б) Нет, не могла

в) 15, 24, 33, 42, 51, 60, 69, 78, 87, 96, 105, 114, 123, 132, 141, 150

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4

Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3

Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2

Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в пункте а); — пример в пункте б); — искомая оценка в пункте в); — пример в пункте в), обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#14953Максимум баллов за задание: 4

На доске написано несколько различных натуральных чисел, в записи которых могут быть только цифры 1 и 6.

а) Может ли сумма этих чисел быть равна 173?

б) Может ли сумма этих чисел быть равна 109?

в) Какое наименьшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 1021?

Источники: ЕГЭ 2020

Показать ответ и решение

а) Если сумма равна 173, то возможные по условию задачи слагаемые не могут быть больше 166, то есть варианты следующие:

1, 6, 11, 16, 61, 66, 111, 116, 161, 166

Теперь нужно попробовать составить пример из приведенных выше вариантов, причем использовать каждое число можно максимум один раз. Методом проб и ошибок находим один из примеров

1+ 6+ 166= 173 или 1 +61+ 111= 173

б) Если сумма равна 109, то варианты слагаемых следующие:

1, 6, 11, 16, 61, 66

При этом использование бОльших чисел даст сумму больше нужной.

В сумме не могут одновременно участвовать числа 61 и 66, так как $61+ 66= 127> 109.$ Даже если участвуют все числа, кроме одного из 61 и 66, то сумма получится меньше чем 109:

1+ 6+ 11+ 16+ 61= 95< 109 или 1 +6 +11 +16+ 66= 100< 109

При этом если не использовать какие-то слагаемые, то сумма будет еще меньше. Значит, сумму 109 получить нельзя.

в) Если сумма равна 1021, то варианты слагаемых следующие:

1, 6, 11, 16, 61, 66, 111, 116, 161, 166, 611, 616, 661, 666

При этом использование бОльших чисел даст сумму больше нужной.

Заметим, что все числа на доске имеют остаток 1 при делении на 5. Значит, остаток при делении на 5 суммы всех чисел на доске равен остатку их количества при делении на 5, так как каждое дает по единичке. Число 1021 дает остаток 1 при делении на 5, тогда количество слагаемых должно иметь вид $5n+ 1.$

Одного слагаемого недостаточно, так как это было бы само число 1021, но оно не состоит только из цифр 1 и 6. А вот 6 слагаемых уже добиться возможно:

616 +161+ 116+ 111+ 16+ 1= 1021

Ответ:

а) Да

б) Нет

в) 6

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4

Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3

Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2

Верно получен один из следующий результатов: — пример в пункте а); — обоснованное решение в пункте б); — искомая оценка в пункте в); — пример в пункте в), обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#14954Максимум баллов за задание: 4

На доске написано несколько различных натуральных чисел, которые делятся на 3 и оканчиваются на 4.

а) Может ли их сумма составлять 282?

б) Может ли их сумма составлять 390?

в) Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 2226?

Источники: ЕГЭ 2020

Показать ответ и решение

Заметим, что последняя цифра суммы чисел зависит только от последних цифр слагаемых. На доске записаны числа, которые оканчиваются на 4. Посмотрим, на какую цифру может оканчиваться их сумма. Для этого построим табличку:


Количество суммируемых чисел	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Последняя цифра их суммы	4	8	2	6	0	4	8	2	6	0

Видно, что такая последовательность последних цифр сумм чисел, оканчивающихся на 4, циклична с периодом 5, так как сумма пяти таких чисел оканчивается на 0.

а) Нас просят узнать, может ли сумма таких чисел равняться 282. Она оканчивается на 2, поэтому количество слагаемых может быть равно 3, $3+ 5= 8$ (можем свериться с табличкой) и так далее.

Попробуем построить пример для трех слагаемых. Наименьшие два числа, которые делятся на 3 и оканчиваются на 4, это 24 и 54, тогда третье число равно

282− 54 − 24 = 204

Получили три числа, удовлетворяющих условию задачи: 24, 54 и 204. Значит, ответ — может.

б) Согласно условию задачи, каждое слагаемое должно делиться на 3 и оканчиваться на 4. Рассмотрим все числа, которые подходят под условие. Составим из них возрастающую последовательность. Тогда разность любых двух соседних чисел этой последовательности делится на 10, так как все числа оканчиваются на 4. С другой стороны, она делится на 3, так как все числа делятся на 3. То есть делится на 30, так как числа 3 и 10 взаимно просты. Мы рассматриваем соседние числа последовательности, поэтому такая разность должна быть минимальна, значит, она равна 30. Первым числом последовательности будет 24, так как это минимальное натуральное число, которое оканчивается на 4 и делится на 3.

Нас просят узнать, может ли сумма таких чисел равняться 390. Она оканчивается на 0, поэтому количество слагаемых должно быть равно $5n.$ Рассмотрим сумму 5 наименьших чисел, которые делятся на 3 и оканчиваются на 4:

24 +54+ 84+ 114+ 144= 420

То есть наименьшая сумма, которую мы можем получить с 0 на конце, это 420, а по условию нужно $390< 420.$ Значит, сумма чисел не может равняться $390.$

в) В пункте б) мы получили, что все числа, делящиеся на 3 с четверкой на конце, образуют арифметическую прогрессию с разностью 30 и первым членом 24.

Нам требуется определить, какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 2226. Если это так, то количество слагаемых имеет вид $5n+ 4,$ где $n$ — целое неотрицательное число. Так как мы хотим определить, какое наибольшее количество чисел могло быть написано на доске, то нам нужно рассматривать сумму первых $5n+ 4$ членов полученной арифметической прогрессии. Так как эта сумма должна быть не больше 2226, мы получим оценку на $n.$

Вспомним формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: если $a1$ — первый член и $d$ — разность прогрессии, то

Sn = 2a1+-d⋅(n−-1)⋅n 2

Значит, сумма первых $5n + 4$ членов нашей арифметической прогрессии равна

Smin = 2⋅24+-30⋅(5n+-3)⋅(5n+ 4)= (75n +69)⋅(5n+ 4) 2

Заметим, что при $n≥ 2$ получается следующее:

Smin ≥ 3066> 2226

Значит, $n$ не больше единицы и слагаемых может быть максимум $5⋅1 +4 = 9.$ Осталось показать, что такая ситуация точно возможна, то есть предъявить пример.

Чтобы составить пример, достаточно взять 8 наименьших чисел, которые делятся на 3 и оканчиваются на 4, и девятое слагаемое, подходящее по сумме всех чисел, получим естественным образом:

24, 54, 84, 114, 144, 174, 204, 234, 1194

То есть наибольшее количество чисел с суммой 2226 — это 9.

Ответ:

а) Да, может

б) Нет, не может

в) 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#15851Максимум баллов за задание: 4

В наборе 100 гирек весом 1, 2, …, 100 граммов. Их разложили на две кучки так, что в каждой кучке есть хотя бы одна гирька. Потом из второй кучки переложили одну гирьку в первую кучку. В результате средняя масса гирек в первой кучке увеличилась ровно на один грамм.

а) Могла ли первая кучка (до перекладывания) состоять из гирек с весами 1 г, 5 г, 9 г?

б) Мог ли средний вес гирек в первой кучке до перекладывания равняться 7,5 грамма?

в) Какое максимальное количество гирек могло быть первоначально в первой кучке?

Источники: ЕГЭ 2020

Показать ответ и решение

а) Начальная средняя масса гирек в граммах в первой кучке равна

1 +5 +9 ---3--- = 5

Далее добавили гирьку массой $x$ г и средняя масса гирек должна увеличиться на 1 г. Тогда можем составить уравнение:

1-+5-+9-+x-= 1+ 5 4 15-+x = 6 4 15+ x= 24 x = 9

То есть единственный возможный вариант — это добавить гирьку массой 9 г в первую кучку. Но в наборе каждая гирька в единственном экземпляре и гирька с массой 9 г уже в первой кучке есть. Значит, ответ — не могла.

б) Пусть общий вес $n$ гирек в первой кучке изначально равен $S$ г и их средний вес до перекладывания равен 7,5 г. Тогда имеем:

S n-= 7,5 ⇒ S = 7,5n

При добавлении одной гирьки массой $x$ г средний вес должен увеличиться на 1 г. Тогда запишем уравнение:

S+ x n+-1-=7,5+ 1 S + x= 8,5n +8,5 7,5n + x= 8,5n + 8,5 x =n + 8,5 x− n = 8,5

Но $x$ г — вес гирьки, а $n$ — количество гирек, то есть оба числа целые и разность не может быть нецелым числом. Значит, ответ — не мог.

в) К $n$ гирькам общим весом $S$ г добавили гирьку массой $x$ г. Тогда составим уравнение:

S+-x- S- n+ 1 = n + 1 Sn++-x1-= S+nn- Sn+ xn = Sn+ S+ n2+ n x= S-+ n+ 1 n

Теперь заметим, что суммарный вес $n$ гирек не меньше, чем вес $n$ наименьших гирек (это гирьки 1 г, 2 г, …, $n$ г), то есть

n(n+-1) S ≥ 2

Значит, их средний вес

S n + 1 -n ≥--2--

Также заметим, что максимальный вес гирьки это 100 г, то есть $100≥ x.$ Исходя из полученного выше уравнения, можем составить неравенство:

100≥ x≥ n-+-1+ n+ 1 2 n+-1- 100 ≥ 2 +n + 1 200 ≥ 3n + 3 2 653 ≥ n

Значит, максимальное значение $n$ равно 65. Осталось показать, что такая ситуация точно возможна, то есть привести пример. Хотим получить следующее:

S S +x 65-+ 1= -66-- S-+-65= S-+-x 65 66 S+ 65⋅66 =65x S = 65 ⋅(x − 66)

Если взять самые маленькие гири 1 г, 2 г, …, 65 г в изначальный набор первой кучки, то

65⋅66 S =--2-- = 65⋅33

Тогда $x − 66 = 33.$ Получили $x =99,$ то есть в изначальный набор из 65 наименьших гирек нужно добавить гирю 99 г, и их средний вес увеличится на 1. Значит, ответ $n = 65,$ то есть в первой кучке изначально могло быть максимум 65 гирек.

Ответ:

а) Нет, не могла

б) Нет, не мог

в) 65

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4

Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3

Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2

Верно получен один из следующий результатов: — пример в пункте а); — обоснованное решение в пункте б); — искомая оценка в пункте в); — пример в пункте в), обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#15856Максимум баллов за задание: 4

В течение $n$ дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день, кроме первого, сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.

а) Может ли $n$ быть больше 5?

б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?

в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 6. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

Источники: ЕГЭ 2020

Показать ответ и решение

а) Заметим, что если у нас на доске записано хотя бы две единицы, то на следующий день можно написать такой же набор с заменой двух единиц на одну тройку, тогда количество чисел уменьшится на 1, а сумма увеличится на 1 и все условия при этом выполняются. Значит, можно изначально написать 12 единиц и пять раз заменять две единицы на тройку, тем самым получим корректную последовательность наборов на 6 дней. Таким образом, $n$ может быть больше 5.

б) Построим пример для $n = 4.$ В первый день запишем число 2 и двенадцать чисел 3, во второй день — двенадцать чисел 4, в третий день — шесть чисел 4 и пять чисел 5, а в четвёртый день — десять чисел 5. Тогда сумма чисел в первый день равна 38, во второй — 48, в третий — 49, а в четвёртый — 50. Среднее арифметическое чисел, записанных в первый день равна

38 = 212< 3 13 13

Среднее арифметическое всех записанных чисел равно

38+-48-+-49-+50- 185 -1 46 = 46 = 446 > 4

в) Так как сумма чисел, записанных в первый день, равна 6, то записано не более шести чисел. По условию в каждый следующий день количество чисел хотя бы на 1 меньше, а сумма хотя бы на 1 больше, чем в предыдущий.

Если $n = 6,$ то в шестой день записано одно число. Но в шестой день сумма должна быть строго больше суммы первого дня, что невозможно, так как числа больше 5 использовать нельзя.
Если $n = 5,$ то в пятый день записано максимум 2 числа с суммой не более 10. Тогда суммы в четвертый, третий и второй дни не более 9, 8, 7 соответственно, следовательно, сумма всех чисел не более $6+ 7+ 8+ 9+ 10= 40.$
Если $n = 4,$ то в четвертый день записано максимум 3 числа с суммой не более 15. Тогда суммы в третий и второй дни не более 14 и 13 соответственно, следовательно, есть сумма всех чисел не более $6 +13+ 14+ 15= 48.$
Если $n = 3,$ то в третий день записано максимум 4 числа с суммой не более 20. Тогда сумма во второй день не более 19, следовательно, сумма всех чисел не более $6+ 19+ 20= 45$ .
Если $n = 2,$ то во второй день записано максимум 5 чисел с суммой не более 25, следовательно, сумма всех чисел не более $6+ 25= 31.$
Если $n = 1,$ то сумма всех чисел ровно 6.

Получили, что сумма чисел точно не превосходит 48. Приведем пример на основании рассуждений выше для суммы 48. Это возможно при $n = 4,$ тогда в четвертый день записаны 3 числа с суммой 15 — это 5, 5, 5; в третий день — 5, 5, 3, 1; во второй — 5, 5, 1, 1, 1; в первый — 1, 1, 1, 1, 1, 1. Общая сумма равна

6+ 13+ 14+ 15= 48

Значит, наибольшая возможная сумма всех чисел при данных условиях равна 48.

Ответ:

а) Да

б) Да

в) 48

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4

Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3

Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2

Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в пункте а); — обоснованное решение в пункте б); — искомая оценка в пункте в); — пример в пункте в), обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#24436Максимум баллов за задание: 4

По кругу стоят несколько детей, среди которых есть хотя бы два мальчика и хотя бы две девочки. У каждого из детей есть натуральное число конфет. У любых двух мальчиков одинаковое число конфет, а у любых двух девочек — разное. По команде каждый отдал соседу справа четверть своих конфет. После этого у любых двух девочек оказалось одинаковое число конфет, а у любых двух мальчиков — разное. Известно, что каждый из детей отдал натуральное число конфет.

а) Может ли мальчиков быть ровно столько же, сколько девочек?

б) Может ли мальчиков быть больше, чем девочек?

в) Пусть девочек вдвое больше, чем мальчиков. Может ли у всех детей суммарно быть 328 конфет?

Источники: ЕГЭ 2020

Показать ответ и решение

Для начала заметим, что не могут двое мальчиков передать конфеты мальчикам, так как в этом случае у получивших конфеты мальчиков их будет одинаковое число. Также двое мальчиков не могут передать конфеты девочкам, так как у девочек разное число конфет, а получат они одинаковое, то есть одинаковым это число стать не может. Это значит, что нет трех подряд идущих мальчиков и двух переходов от мальчикам к девочкам. То есть все мальчики и все девочки стоят подряд (иначе появится хотя бы два мальчика, передающие конфеты девочкам), в частности это означает, что мальчиков максимум 2. Учитывая, что мальчиков по условию задачи хотя бы двое, получаем, что мальчиков ровно двое.

а) Пусть мальчиков может быть ровно столько же, сколько девочек. Мальчиков двое, значит, девочек тоже двое, и стоят они по кругу так: ММДД.

Попробуем составить пример. Изначально знаем, что количество конфет у каждого должно делиться на 4. Тогда пусть у мальчиков по 4 конфеты, у первой девочки $x$ , у второй девочки $y$ . После команды у первого мальчика стало $3 + y4$ , у второго осталось 4, у первой девочки $3x4 + 1$ , а у второй $34y+ x4$ . Знаем, что у девочек стало одинаковое число конфет, тогда составим уравнение:

3y + x-= 3x-+ 1 ⇔ 3y+ x = 3x + 4 ⇔ y = 2x-+-4 4 4 4 3

Теперь нужно так подобрать разные $x$ и $y$ , чтобы они были целые и кратны 4. Чтобы $y$ получилось целым, $2x + 4$ должно делиться на 3. Следовательно, $x$ вида $3n+ 1$ и кратно 4, то есть вида $12n+ 4$ . Если $x = 4$ , то $y = 4$ — не подходит. Если $x = 16$ , то $y = 12$ .

Проверим: изначально по кругу были числа 4, 4, 16, 12; стало соответственно 6, 4, 13, 13 — все условия задачи выполнены.

Значит, да, мальчиков может быть ровно столько же, сколько девочек. Тогда у мальчиков по 4 конфеты, у первой девочки справа от мальчиков 16 конфет, у второй 12.

б) Как уже поняли в самом начале — мальчиков ровно два, при этом по условию девочек хотя бы две, значит, мальчиков не может быть больше, чем девочек.

в) По рассуждениям выше можем сделать вывод, что мальчиков два, тогда девочек четыре, а стоять они могут только в таком порядке: ММДДДД.

Пусть изначально у мальчиков по $x$ конфет, а у девочек, если пойти направо, $y1,y2,y3,y4$ конфет. Тогда после команды количество конфет у мальчиков стало равно $3x+ 1y4 4 4$ и $x$ , а у девочек в том же порядке — $3y1 + 1x 4 4$ , $3 1 4y2 + 4y1$ , $3 1 4y3 + 4y2$ и $3 1 4y4 + 4y3$ .

Значит, $(34x + 14y4) ⁄= x ⇔ y4 ⁄= x$ и $3y1 + x = 3y2 + y1 = 3y3 + y2 = 3y4 +y3$ .

3y3 + y2 = 3y4 +y3 ⇔ y2 = 3y4 − 2y3

3y2 + y1 = 3y4 + y3 ⇔ y1 = 3y4 + y3 − 3y2 = 3y4 + y3 − 9y4 + 6y3 ⇔ y1 = 7y3 − 6y4

3y1 + x = 3y4 + y3 ⇔ x = 3y4 + y3 − 3y1 = 3y4 + y3 − 21y3 +18y4 ⇔ x = 21y4 − 20y3

Посчитаем общую сумму конфет $S$ :

S = y1 + y2 + y3 + y4 + 2x = 7y3 − 6y4 + 3y4 − 2y3 + y3 + y4 + 42y4 − 40y3 = 40y4 − 34y3

То есть, если у детей суммарно 328 конфет, то $40y4 − 34y3 = 328 ⇔ 20y4 = 164+ 17y3$ .

Все числа в задаче натуральные, поэтому, чтобы равенство выполнялось, $17y + 164 3$ должно делиться на 10. Следовательно, последняя цифра $17y3$ должна быть 6. Для этого нужно рассмотреть все возможные последние цифры $y3$ — это цифры от 0 до 9, далее их умножить на 7 и посмотреть какие последние цифры могут получиться в результате. После того как перемножили все, понимаем, что единственный вариант, когда последняя цифра получается 6 это $7⋅8$ , значит, $y3$ имеет вид $10n + 8$ . Также нужно не забывать, что все $y$ кратны 4, иначе дети не смогут передать соседу четверть своих конфет. Значит, $y3$ имеет вид $20n + 8$ .

Теперь нужно проверить чему может быть равен $y3$ , чтобы все условия задачи были выполнены.

Если $n = 0$ , то $y3 = 8 ⇒ y4 = 164+1207⋅8= 15$ , но 15 не делится на 4, то есть этот вариант не подходит.

Если $n = 1$ , то $y3 = 28 ⇒ y4 = 164+1270⋅28 = 32$ — пока условие задачи выполняется, поэтому посчитаем $x$ , $y1$ , $y2$ (выше мы уже научились их выражать через $y3$ и $y4$ ). $x = 21y4 − 20y3 = 21 ⋅32 − 20⋅28 = 112$ , $y1 = 7y3 − 6y4 = 7⋅28 − 6 ⋅32 = 4$ , $y2 = 3y4 − 2y3 = 3 ⋅32− 2⋅28 = 40$ .

Проверим: изначально по кругу были числа 112, 112, 4, 40, 28, 32; стало соответственно 92, 112, 31, 31, 31, 31 — все условия задачи выполнены, значит, 328 конфет могло быть.

Ответ:

а) Да

б) Нет

в) Да

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#24437Максимум баллов за задание: 4

Десять мальчиков и семь девочек пошли в лес за грибами. Известно, что любые две девочки набрали больше грибов, чем любые три мальчика, но любые пять мальчиков набрали больше грибов, чем любые три девочки.

а) Может ли так случиться, что какая-то девочка набрала меньше грибов, чем какой-нибудь мальчик?

б) Может ли так случиться, что количество найденных грибов у всех детей будет различным?

в) Найдите минимальное возможное количество грибов, собранное всеми детьми суммарно.

Источники: ЕГЭ 2020

Показать ответ и решение

а) Допустим, что какая-то девочка набрала меньше грибов, чем какой-нибудь мальчик. Пусть первая девочка набрала $y1$ грибов, а первый мальчик — $x1$ грибов, тогда $y1 < x1$ . Также мы знаем, что любые пять мальчиков набрали больше грибов, чем любые три девочки, то есть верно следующее: $y + y + y < x + x + x + x +x 2 3 4 2 3 4 5 6$ . Сложим два неравенства и получим: $y1 + y2 + y3 + y4 < x1 + x2 + x3 + x4 +x5 + x6$ .

Но еще нам известно, что любые две девочки набрали больше грибов, чем любые три мальчика. Значит, можем составить два неравенства: $y1 + y2 > x1 + x2 +x3$ и $y3 + y4 > x4 + x5 + x6$ . Сложим их: $y1 + y2 +y3 + y4 > x1 + x2 +x3 + x4 + x5 + x6$ . Получили, что неравенство из первого абзаца решения противоречит условию задачи, значит, не могло так случиться, что какая-то девочка набрала меньше грибов, чем какой-нибудь мальчик.

б) Пусть у всех мальчиков будет $x− ei$ грибов (где $i$ — номер мальчика, а $ei$ — что-то очень маленькое относительно $x$ ), а у девочек будет $1,5x + ej$ (где $j$ — номер девочки, а $ej$ — что-то пренебрежительно маленькое относительно $x$ ). Даем столько грибов, потому что получатся как раз верные равенства: $2⋅1,5x+ 2ej > 3x − 3ej$ и $5x − 5e > 3⋅1,5x+ 3e i j$ . Первое неравенство верно, так как можно сократить на $3x$ и слева останется положительное число, а справа отрицательное. Второе неравенство верно, потому что можно сократить на $4,5x$ и получим $0,5x− 5ei > 3ej$ — верно, так как $5ei$ и $3ei$ пренебрежительно мало относительно $x$ .

Под рассуждения выше подходит $x = 1000$ . У мальчиков: 1000, $1000 − 1$ , $...$ , $1000− 9$ ; у девочек: 1500, $1500+ 1$ , $1500+ 2$ , $...$ , $1500 +6$ .

в) Упорядочим количество грибов у мальчиков $x1 ≤ x2 ≤ x3 < ...≤ x10$ и у девочек $y1 ≤ y2 ≤ ...≤ y7$ . Из условия можно составить неравенства:

x₈ + x₉ + x₁₀ < y₁ + y₂ ⇔ x₈ + x₉ + x₁₀ + 1 ≤ y₁ + y₂

Аналогично:

y₇ + y₆ + y₅ + 1 ≤ x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅

Также $3⋅(y1 + y2) ≤ 2⋅(y7 + y6 + y5)$ , так как с обеих сторон неравенства по 6 слагаемых и каждое слева не больше каждого справа. Отсюда получаем:

3 ⋅ (x₈ + x₉ + x₁₀ + 1) + 2 ≤ 3 ⋅ (y₁ + y₂) + 2 ≤ 2 ⋅ (y₇ + y₆ + y₅ + 1) ≤ 2 ⋅ (x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅)

Теперь имеем: $3 ⋅(x8 + x9 + x10 + 1)+ 2 ≤ 2 ⋅(x1 + x2 + x3 + x4 + x5)$ .

Также $x1 + 2⋅(x2 + x3 +x4 + x5) ≤ 3⋅(x8 + x9 + x10)$ , так как каждое слагаемое слева не больше каждого слагаемого справа.

Сложим два последних неравенства и получим: $5 ≤ x1$ . Значит у каждого мальчика минимум 5 грибов.

Аналогичным образом хотим получить минимум грибов у каждой девочки.

$3⋅(x1 +x2 + x3 + x4 + x5) ≤ 5 ⋅(x8 + x9 + x10)$ , так как с обеих сторон неравенства по 15 слагаемых и каждое слева не больше каждого справа. А также $3⋅(y + y + y + 1) ≤ 3 ⋅(x + x + x + x +x ) 7 6 5 1 2 3 4 5$ . Тогда можем составить цепочку неравенств:

3 ⋅ (y₇ + y₆ + y₅ + 1) + 5 ≤ 3 ⋅ (x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅) + 5 ≤ 5 ⋅ (x₈ + x₉ + x₁₀ + 1) ≤ 5 ⋅ (y₁ + y₂)

Теперь имеем: $3 ⋅(y7 + y6 + y5 + 1)+ 5 ≤ 5 ⋅(y1 +y2)$ .

Также $4y1 + 5y2 ≤ 3⋅(y5 + y6 + y7)$ , так как каждое слагаемое слева не больше каждого слагаемого справа.

Сложим два последних неравенства и получим: $8 ≤ y1$ . Значит у каждой девочки минимум 8 грибов.

Если у каждой девочки будет по 8 грибов, а у каждого мальчика по 5 (это как раз минимум количества грибов), то условие задачи выполняется, так как $2⋅8 > 3⋅5$ и $5 ⋅5 > 3 ⋅8$ .

Значит, минимальное возможное количество грибов, собранное всеми детьми суммарно $(7 ⋅8+ 10⋅5) = 106$ .

Ответ:

а) Нет

б) Да

в) 106

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#24438Максимум баллов за задание: 4

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 6, к каждому числу из второй группы приписали справа цифру 9, а числа третьей группы оставили без изменений.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 9 раз?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 19 раз?

в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

Источники: ЕГЭ 2020

Показать ответ и решение

Заметим, что любое число $k1$ из первой группы превращается в число $10k1+ 6;$ число $k2$ из второй группы превращается в $10k2+ 9;$ число $k3$ из третьей группы никак не меняется. Обозначим сумму чисел в первой группе через $X,$ а их количество через $x;$ сумму чисел во второй группе через $Y,$ а их количество через $y;$ сумму чисел в третьей группе через $Z$ (их количество обозначать необязательно, так как в этой группе ничего не меняется).

а) Изначально сумма всех чисел была $X + Y + Z,$ далее в первой группе сумма стала $10X + 6x;$ во второй группе сумма стала $10Y + 9y.$ Тогда составим уравнение:

9(X +Y + Z)= 10(X +Y )+ Z + 6x+ 9y 8Z = X + Y + 6x + 9y

В полученном уравнении можно легко подобрать пример: количество чисел во всех группах пусть будет равным 1 и $X = 1,Y = 8,Z = 3$ . Таким образом, в первой группе число 1; во второй группе число 8; в третьей группе число 3.

Сделаем проверку:

9 ⋅(1 +8 +3)= 10⋅(1+ 8)+ 3+ 6+ 9 9 ⋅12= 10⋅9+ 18

Получилось действительно верное равенство.

б) Аналогично рассуждениям из пункта а) составим уравнение:

19(X + Y +Z )= 10(X + Y)+ Z + 6x + 9y 9X + 9Y +18Z = 6x+ 9y

Заметим, что сумма натуральных чисел всегда не меньше, чем их количество, тогда

(|| X ≥ x (|| 9X ≥6x |{ |{ | Y ≥ y ⇒ | 9Y ≥ 9y ⇒ ||( Z > 0 ||( 18Z > 0 9X + 9Y + 18Z > 6x + 9y

Значит, не существует натуральных чисел, удовлетворяющих нужному соотношению.

в) Так как нужно узнать, в какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма, то рассмотрим отношение полученной суммы к изначальной:

10X + 10Y + Z +6x +9y 9X + 9Y + 6x+ 9y ------X-+-Y +-Z------= 1+ ---X-+-Y-+-Z---

Хотим найти максимум полученного выражения. Тогда поймем, в какой группе для этого должны находиться числа. Изначальная сумма чисел фиксирована для выбранного набора чисел. Но если числа из первой и третьей группы переместить во вторую группу, то несложно проверить, что новая полученная сумма увеличится. Значит, для максимизации отношения нужно в первой и третьей группах оставить по одному числу и получится $x= 1.$ Тогда отношение примет вид

9X +9Y + 9Z + 6+ 9y− 9Z 6+ 9y− 9Z 1 + -------X-+Y-+-Z--------= 10+ X-+-Y-+-Z-

Теперь для максимизации нужно, чтобы $Z = 1$ и знаменатель должен иметь минимальное значение для фиксированного набора из $y$ чисел во второй группе и $x = 1$ чисел в первой группе, то есть минимум $X + Y$ это $2+ ...+ (y + 2),$ так как $Z = 1.$ Тогда получим

9y− 3 9y − 3 6(3y− 1) 10 + 1+-2+-...+-(y+-2) = 10+ (y+2)(y+3) =10 + (y-+2)(y+-3) 2

Тогда осталось найти максимум выражения

--6(3y-− 1)- 10+ (y+ 2)(y+ 3)

Чтобы найти точку максимума, нужно посчитать производную:

′ 2 2 ′ (10+ --6(3y−-1)--)′ = 6(3y−-1)(y-+-5y-+2-6)-− 6(3y−2-1)(y-+-5y+-6) = (y + 2)(y+ 3) (y +5y +6) −18y2+-12y+-138- −6(3y2−-2y−-23)- = (y2+ 5y+ 6)2 = (y2+ 5y+ 6)2

Теперь нужно найти нули функции, в данном случае понять, когда числитель равен нулю:

3y2 − 2y − 23 =0 D =4 + 4⋅69= 280 16< √D-< 17 √ -- y1 = 2-+-D- ⇒ 3< y1 < 4 6 √-- y2 = 2−-D-- ⇒ y2 <0 6

Нас интересуют только положительные значения $y,$ то есть точка максимума функции будет в точке $y1,$ так как в ней происходит переход от положительных значений производной к отрицательным. Также $y$ принимает только натуральные значения, значит, максимальное значение функции будет либо в точке $y = 3,$ либо в точке $y = 4.$