Тема . Классические неравенства

Транснеравенство

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела классические неравенства
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#102178

Пусть a,b,c≥ 0.  Докажите неравенства:

(a) a3b+ b3c+ c3a ≥a2bc+b2ca +c2ab;

(b) 2(a3+ b3+c3)≥ ab(a+ b)+ bc(b+ c)+ ca(c+ a).

Показать доказательство

Пусть a ≥b≥ c  (все остальные случаи аналогичны).

(a) Заметим, что ab≥ac≥ bc  и 2   2   2
a ≥b ≥ c.  Применим транснеравенство к этим упорядоченным наборам и получим требуемое неравенство (справа будем наименьшая оценка в неравенстве, а слева можно писать любую оценку).

(b) Применим транснеравенство к наборам  2   2  2
a ≥ b ≥ c  и a≥ b≥ c  два раза и получим (так как  3  3   3
a + b +c  — наибольшая оценка в транснеравенстве)

a3+b3+ c3 ≥a2b+ b2c+ c2a

 3  3   3  2   2    2
a +b + c ≥b a+ cb+ a c

Сложим получившиеся неравенства и получим

2(a3+ b3+c3)≥ a2b+ b2c+ c2a+b2a+ c2b+ a2c=ab(a+b)+ bc(b+c)+ ca(c+ a)

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!