Тема . Классические неравенства

Транснеравенство

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела классические неравенства

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#102184

Для положительных значений переменных докажите неравенства

(a) $a b c 3 b+c + c+-a + a-+b ≥2;$

(b) $---a1----- ------a2----- ----an------ --n- a2+...+an +a3+ ...+ an+ a1 + ...+ a1+...+an−1 ≥ n − 1.$

Показать доказательство

(a) Будем считать $a≥ b≥ c.$ Остальные случаи получаются переименованием переменных. Обозначим $S = a+b +c.$ Тогда

1 1 1 S-− a ≥ S−-b ≥ S−-c

Домножим обе части неравенства на $2,$ добавим по $ab+c + cb+a + ac+b$ с обеих сторон. В правой части скажем, что

3= a+-b+ a+-c+ c-+b S− c S− b S − a

Получим

( ) ( ) 3 --a- + -b--+ -c-- ≥(a+ b+c) --1- + -1--+ -1-- S − a S− b S− c S − a S− b S− c

что является неравенством Чебышева для трёх переменных.

(b) Будем считать $a ≥ a ≥ ...≥ a . 1 2 n$ Остальные случаи получаются переименованием переменных. Обозначим $S =a + a + ...+a . 1 2 n$ Тогда

1 1 1 S−-a1 ≥ S−-a2 ≥ ...≥ S-− an

Домножим обе части неравенства на $n− 1,$ добавим по $S−a1a1-+S−a2a2 +...+ Sa−nan$ с обеих сторон. В правой части скажем, что

a1+-a2+...+an−1 a2+-a3+...+an n= S− an + ...+ S − a1

Получим

( ) ( ) n S-a−1 a- + Sa−2a-+...+ Sa−na- ≥ (a1 +a2+ ...+ an) S−1a-+ S−1a-+ ...+ S−1a- 1 2 n 1 2 n

что является неравенством Чебышева для $n$ переменных (в правой части у нас как раз получились все слагаемые вида $S−aia). j$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Транснеравенство

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ