Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела окружности
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#91084

Окружности ω
 1  и ω
 2  пересекаются в точках A
 1  и B ,
 1  окружности ω
 2  и ω
 3  — в точках A
 2  и B ,
 2  окружности ω
 3  и ω
 4  — в точках A3  и B3,  окружности ω4  и ω1  — в точках A4  и B4.  Докажите, что если точки A1,A2,A3,A4  лежат на одной окружности или прямой, то точки B1,B2,B3,B4  лежат на одной окружности или прямой.

Показать доказательство

Определим ∡ABC  как ∠(AB, BC).  Из условия следует, что ∡A A A  = ∡A A A .
   1 4 3    1 2 3  Следовательно,

∡A1A4B4 +∡B4A4A3 = −∡A3A2B2− ∡B2A2A1 =∡B2A2A3 +∡A1A2B2

В силу вписанности четырёхугольника A1B1B4A4  имеем ∡A1A4B4 = ∡A1B1B4.  Аналогично пользуясь вписанностью четырёхугольников A1B1B2A2,A2B2B3A3  и A3B3B4A4,  получим из равенства

∡A A B  +∡B A A  = ∡B A A + ∡A A B
  1 4 4     4 4 3    2 2 3    1 2 2

равенство

∡A1B1B4 +∡B4B3A3 = ∡B2B3A3+ ∡B2B1A1

А оно, в свою очередь, равносильно равенству

∡B4B3A3 +∡A3B3B2 = ∡B2B1A1+ ∡B4B1A1

Таким образом, ∡B4B1B2 = ∡B4B3B2,  получили требуемое.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!