Полувписанные окружности

Пусть — середины дуг не содержащих остальных вершин треугольника; — центр вписанной окружности; — окружность, касающаяся сторон и касается описанной окружности в точке По лемме Архимеда тройки точек и лежат на одной прямой. Далее предложим несколько способов закончить доказательство.

Способ 1. По теореме Паскаля для шестиугольника точки лежат на одной прямой, но точки и симметричны относительно прямой а значит, является серединой

Способ 2. Треугольники и подобны по двум углам, следовательно,

то есть имеет равные степени степени точек относительно точки и окружности То же верно для точки а значит, прямая является их радикальной осью и содержит среднюю линию треугольника то есть середина является отражением точки относительно

Осталось заметить, что этим же свойством обладает точка поскольку и в силу леммы о трезубце.