Полувписанные окружности

Первое решение. Пусть — окружность, которая касается сторон и описанной окружности треугольника. Вершина является центром положительной гомотетии, которая переводит окружность во вписанную окружность треугольника, а точка — центром положительной гомотетии, переводящей в описанную окружность треугольника.

Таким образом, в силу теорему о трех колпаках прямая проходит через центр положительной гомотетии, переводящей описанную окружность треугольника во вписанную. Аналогично, через нее проходят прямые и

Второе решение. Пусть — образ точки под действием композиции инверсии с центром в точке радиусом и симметрии относительно угла Несложно показать, что и Окружность проходит через центр инверсии, следовательно, ее образ — прямая, проходящая через точки и — прямая Таким образом, образ касается прямых и касается прямой — то есть является вписанной или вневписанной окружностью треугольника Первое невозможно, например, в силу того, что касается отрезка а значит касается продолжения отрезка за точку

Наконец, — вневписанная окружность, следовательно, точка переходит в точку касания образов описанной окружности и полувписанной окружности — точку а значит, прямые пересекаются в одной точке, изогонально сопряженной точке Нагеля.