Полувписанные окружности

(a) Пусть — точка, симметричная относительно серединного перпендикуляра к Докажем, что точки лежат на одной прямой.

Пусть — точка касания -внеписанной окружности со стороной Тогда, как известно, прямые и симметричны относительно биссектрисы угла то есть Пусть — точка пересечения прямой с окружностью тогда дуги и равны. Таким образом, при симметрии относительно серединного перпендикуляра к точка перейдет в точку точка — в точку точка — в точку Наконец, в силу того, что точки лежали на одной прямой, их образы — точки так же лежат на одной прямой.

Вернемся к доказательству. Заметим, что поскольку данные углы опираются на общую дугу в Кроме этого, в силу параллельности прямых и Таким образом, что влечет требуемую вписанность.

(b) Заметим, что поскольку данные углы опираются на общую дугу в Кроме этого, в силу параллельности прямых и Таким образом, что, в силу теоремы, обратной теореме об угле между касательной и хордой, влечет требуемое касание.