Полувписанные окружности
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Треугольник 
вписан в окружность 
Полувписанная окружность 
касается “меньшей” дуги 
в точке
(a) Пусть вписанная окружность касается стороны 
в точке 
Прямая, проходящая через вершину 
пересекает сторону 
и
окружность 
в точках 
и 
соответственно. Тогда точки 
и 
лежат на одной окружности.
(b) Докажите, что 
касается описанной окружности треугольника 
Подсказка 1
Что можно сказать о точке пересечения прямой T_aZ c окружностью (ABC)?
Подсказка 2
Докажите, что точка A', симметричная A относительно серединного перпендикуляра к BC, лежит на прямой T_aZ. Как это можно сделать?
Подсказка 3
Достаточно показать, что образы точек T_a, Z, A' относительно серединного перпендикуляра к BC лежат на одной прямой. Что это за точки?
Подсказка 4
Точки T_a, Z, A' перейдут соответственно в точки S --- точку на дуге BC такую, что CT_a=BS, D --- точку касания BC с соответствующей вневписанной окружностью, A. Почему указанные точки лежат на одной прямой?
Подсказка 5
Потому что прямые AD и AT_a симметричны относительно биссектрисы угла A. Таким образом, мы показали, что прямая T_aZ пересекает окружность (ABC) в точке A' такой, что A'A || BC. Как благодаря этому можно доказать исходное утверждение?
Подсказка 6
Покажите, что углы AXZ и A'T_aY равны, воспользовавшись вписанностью четырехугольника A'AT_aY и параллельностью прямых A'A и BC.
(a) Пусть 
— точка, симметричная 
относительно серединного перпендикуляра к 
Докажем, что точки 
лежат на одной
прямой.
Пусть 
— точка касания 
-внеписанной окружности со стороной 
Тогда, как известно, прямые 
и 
симметричны
относительно биссектрисы угла 
то есть 
Пусть 
— точка пересечения прямой 
с окружностью 
тогда
дуги 
и 
равны. Таким образом, при симметрии относительно серединного перпендикуляра к 
точка 
перейдет в точку 
точка 
— в точку 
точка 
— в точку 
Наконец, в силу того, что точки 
лежали на одной прямой, их образы — точки
так же лежат на одной прямой.
Вернемся к доказательству. Заметим, что 
поскольку данные углы опираются на общую дугу 
в 
Кроме
этого, 
в силу параллельности прямых 
и 
Таким образом, 
что влечет требуемую
вписанность.
(b) Заметим, что 
поскольку данные углы опираются на общую дугу 
в 
Кроме этого,
в силу параллельности прямых 
и 
Таким образом, 
что, в силу теоремы, обратной теореме
об угле между касательной и хордой, влечет требуемое касание.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
