Полувписанные окружности

Пусть — образ точки под действием композиции инверсии с центром в точке радиусом и симметрии относительно угла Несложно показать, что и Окружность проходит через центр инверсии, следовательно, ее образ — прямая, проходящая через точки и — прямая Таким образом, образ касается прямых и касается прямой — то есть является вписанной или вневписанной окружностью треугольника Первое невозможно, например, в силу того, что касается отрезка а значит касается продолжения отрезка за точку

Наконец, — вневписанная окружность, следовательно, точка переходит в точку касания образов описанной окружности и полувписанной окружности — точку Таким образом, образ точки при симметрии относительно биссектрисы угла лежит на прямой иными словами, прямые и симметричны относительно данной биссектрисы, что завершает доказательство.