Полувписанные окружности

Достаточно показать, что точка принадлежит радикальной оси точки и полувписанной окружности. Пусть — центр вписанной окружности треугольника — точка пересечения биссектрисы с окружностью Тогда то есть прямая перпендикулярна линии центров точки и полувписанной окружности. Таким образом, достаточно показать, что на прямой найдется точка, степени точек которой относительно точки и полувписанной окружности равны.

Пусть — точка пересечения прямой и прямой — точка касания полувписанной окружности со стороной Докажем, что Действительно, по лемме Варьера, следовательно, Но — ортоцентр треугольника то есть Приравнивая полученные отношения, имеем Наконец, последнее отношения равно в силу леммы о трезубце, следовательно, что и требовалось доказать.