Полувписанные окружности
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть перпендикуляр, восстановленный в точке 
к прямой 
пересекается с описанной окружностью треугольника 
в точке 
и с биссектрисой угла 
в точке 
Докажите, что длина касательной, проведённой из точки 
к полувписанной окружности, равна
длине отрезка 
Подсказка 1
Просят доказать, что касательная из точки U равна отрезку из точки U. На самом деле это означает, что U лежит на радикальной оси. Подумайте в этом направлении.
Подсказка 2
Достаточно рассмотреть прямую через U, перпендикулярную линии центров, и на ней найти точку с равными степенями. Линия центров это просто AZ.
Подсказка 3
Отметьте W - середину дуги BC, не содержащую A, пересечение UW со стороной AB - точку X. Докажите, что у X одинаковая степень.
Достаточно показать, что точка 
принадлежит радикальной оси точки 
и полувписанной окружности. Пусть 
— центр вписанной
окружности треугольника 
— точка пересечения биссектрисы 
с окружностью 
Тогда 
то
есть прямая 
перпендикулярна линии центров точки 
и полувписанной окружности. Таким образом, достаточно
показать, что на прямой 
найдется точка, степени точек которой относительно точки 
и полувписанной окружности
равны.
Пусть 
— точка пересечения прямой 
и прямой 
— точка касания полувписанной окружности со стороной 
Докажем,
что 
Действительно, по лемме Варьера, 
следовательно, 
Но 
— ортоцентр треугольника 
то
есть 
Приравнивая полученные отношения, имеем 
Наконец, последнее отношения равно 
в силу леммы о
трезубце, следовательно, 
что и требовалось доказать.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
