Полувписанные окружности
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Треугольник 
вписан в окружность 
Полувписанная окружность 
касается сторон 
и 
в точках 
и 
соответственно и “меньшей” дуги 
в точке 
Пусть точка 
— пересечение прямых 
и 
Докажите, что
Подсказка 1
Несложно видеть, что углы AKQ и QLC равны. Что достаточно доказать про треугольники AKQ и СLQ, чтобы получить требуемое равенство углов?
Подсказка 2
Достаточно показать, что данные треугольники подобны. Мы уже имеем равенство углов AKQ и QLC, следовательно, достаточно показать, что KQ / QL = BK / LC. Как иначе можно выразить KQ / QL?
Подсказка 3
Треугольник KAL является равнобедренным. Таким образом, KQ / QL = sin KAQ / sin QAL. Как можно переписать последнее отношение, если использовать теорему синусов для треугольника ABC?
Подсказка 4
Верно, что sin KAQ / sin QAL = BT_a / T_aC. Таким образом достаточно показать, что BT_a / T_aC = BK / LC. Вспомните, что T_aK является биссектрисой угла BT_aA. Какие равенства отношений это влечет?
Подсказка 5
Мы имеем равенство отношений BT_a / BK = T_aA / KA. Напишите аналогичное равенство для биссектрисы T_aL. Что можно сказать о правых частях полученных отношений?
Подсказка 6
Отрезки KA и LA равны, а, значит, и правые части полученных отношений равны. Таким образом, BT_a / BK = СT_a / CL. Объедините полученные отношения в одну цепочку и завершите доказательство.
Отрезки 
и 
равны, поскольку являются отрезками касательных из точки 
к полуписанной окружности, следовательно,
Таким образом, достаточно показать, что треугольники 
и 
подобны, то есть справедливость
отношения
Как было сказано ранее, треугольник 
является равнобедренным, следовательно,
кроме этого, в силу теоремы синусов,
В силу леммы Архмида, 
является биссектрисой угла 
то есть 
Аналогично, 
Таким образом, в
силу равенства 
верно, что
Объединяя полученные равенства отношений, имеем
что и требовалось доказать.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
