Полувписанные окружности
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Касательные, проведённые к описанной окружности остроугольного треугольника 
в точках 
и 
пересекаются в точке 
— высоты. Прямая 
пересекает прямые 
в точках 
и 
соответственно. Докажите, что описанные окружности
треугольников 
и 
касаются.
Подсказка 1
Окружность (ABC) касается двух сторон треугольника XYZ. Тогда просят доказать, что (ABC) - полувписанная. Какие теоремы помогают доказывать такое?
Подсказка 2
Воспользуйтесь леммой Варьера. У вас есть 2 точки касания, прямая их соединяющая - AC. Может центр вписанной окружности XYZ какая-то хорошая точка на AC?
Подсказка 3
Отметьте M - середину AC. Докажите счетом углов, что это и есть центр вписанной окружности треугольника XYZ.
Отметим точку 
— середину стороны 
и покажем, что она является центром вписанной окружности треугольника
Докажем, что 
Во-первых, отрезок 
равен отрезку 
как медиана в прямоугольном треугольнике 
Во-вторых,
где второе и третье равенства верны соответственно в силу теоремы об угле между касательной и хордой и вписанностью
четырехугольника 
то есть 
Таким образом, 
— дельтоид, следовательно, диагональ 
является его
осью его симметрии, что доказывает требуемое.
Аналогично, 
— биссектриса угла 
Таким образом, M — центр вписанной окружности треугольника 
Наконец, по лемме Варьера, окружность 
является полувписанной для треугольника 
то есть касается его описанной
окружности.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
