Полувписанные окружности

Первое решение. Не умаляя общности будем считать, что лежит внутри а  — снаружи. Окружности и известны как полувписанная и полувневписанная окружности треугольника Пусть и  — их центры, и пусть касается и в точках и а — в точках и соответственно. Как известно, середина — это центр вписанной окружности треугольника а середина — центр его вневписанной окружности (касающейся отрезка Пусть и — радиусы этих окружностей; из гомотетии в точке получаем, что

Пусть и пересекают в точках и соответственно. Пусть Тогда треугольники и подобны (их соответственные стороны параллельны), и коэффициент их подобия равен отношению высот из точек и , то есть Отсюда Значит, прямоугольные треугольники и также подобны, поэтому

Пусть и касаются в точках и соответственно. По теореме Ньютона, прямые и пересекаются в одной точке, то есть проходит через Поскольку прямые и — поляры точек и относительно точка — полюс прямой относительно откуда Аналогично получаем, что Теперь из доказанного выше вытекает, что что равносильно требуемому.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Как известно, направление луча из вершины угла однозначно задаётся отношением синусов углов, образованных им со сторонами угла. Поэтому для решения задачи достаточно доказать, что Пусть и пересекаются в точке Заметим, что

Пусть касается прямых и в точках и соответственно. Как известно, в описанном четырехугольнике выполнено равенство Пусть полувписанная окружность касается в точке Еще один известный факт:  — биссектриса угла а  — биссектриса угла Отсюда получаем

и, следовательно,

Так как при композиции инверсии с центром в точке и симметрии относительно биссектрисы угла меняющей местами точки и окружность переходит во вневписанную окружность треугольника то точка переходит при таком преобразовании в точку касания с отрезком Обозначим эту точку через Из вышесказанного следует, что треугольники и а также треугольники и подобны. Тогда

Рассуждая аналогично, получаем, что

где  — точка касания вписанной окружности треугольника с отрезком Осталось заметить, что точки и симметричны относительно середины откуда