Тригонометрические неравенства

Применим индукцию по . При неравенство очевидно. При получаем . Ясно, что и при

Предположим, что при . Покажем, что тогда при . Пусть — точка отрезка , в которой функция принимает минимальное значение. Предположим, что , причём и . Тогда . Ho

Докажем тождество

Пусть сумма косинусов равна . Домножив на получим

Поэтому в силу тождества , а значит, . Далее,

Полученное выражение равно или . Таким образом, , а значит, . Получено противоречие.