Тригонометрические неравенства

Для начала докажем, что Это эквивалентно неравенству

Возведем неравенство в квадрат:

Из основного тригонометрического тождества имеем: Тогда после подстановки в неравенство получаем:

По формуле косинуса двойного угла получаем Выразим из этого равенства квадрат синуса и подставим в неравенство:

Снова возведем в квадрат:

Снова по формуле косинуса двойного угла получаем После подстановки в неравенство получаем

По формуле приведения имеем Тогда наше неравенство эквивалентно

Это верно, поскольку

Теперь применим оценку для углов из промежутка Тогда имеем

Таким образом, действительно, Теперь докажем, что Начало доказательства аналогично предыдущему случаю

Теперь по формуле приведения Подставляем полученное в наше неравенство и возводим в квадрат

Использовав формулу косинуса двойного угла, получаем Подставляем в неравенство и получаем:

По формуле приведения поэтому остается доказать, что Найдем Для этого используем равенство которое следует из формулы приведения. По формуле косинуса тройного угла получаем По формуле синуса двойного угла Таким образом, получаем равенство

Разделим обе части на Пусть Тогда Получаем следующее уравнение

Оно имеет корни Так как то имеем

Таким образом, неравенство выполняется при Найдем решения неравенства

Так как — целое число, имеем Тогда сумма всех целых равна