Оптимизация на ДВИ

Вспомним неравенство о средних для двух положительных чисел: Также заранее подметим, что переменные по условию из промежутка а значит аргументы синусов лежат в промежутке то есть значения всех синусов в выражении положительны.

Заметим, что если убрать показатели, то мы сможем применить это неравенство к каждой скобке, после чего все синусы сократятся и мы получим оценку каким-то числом. Однако неравенство о средних работает для произвольного количества положительных чисел, поэтому если мы разобьём вторую скобку на слагаемых, а третью — на то после оценки и возведения в степени все синусы будут под квадратными корнями и сократятся:

Если возвести второе неравенства в квадрат, а третье — в четвёртую степень, а затем их перемножить, то мы получим оценку снизу на исходное выражение. Значение этой оценки нам не важно, нам нужны значения при которых достигается эта оценка. Для её достижения необходимо, чтобы во всех трёх неравенствах, выписанных выше, было равенство. Равенство в неравенстве о средних возникает лишь когда все переменные равны. Таким образом:

Из второго равенства, учитывая, что получаем

В третье равенство подставим и получим: Раскроем синус суммы: Пользуясь равенствами при и получим:

По условию то есть а значит на него можно сократить:

Приведём уравнение к следующему виду (основное тригонометрическое тождество и домножение на ):

Заметим, что правая часть всегда больше то есть мы можем возвести в квадрат без накладывания дополнительных ограничений:

Полученное уравнение имеет решение то есть откуда