Тема . ДВИ по математике в МГУ

Оптимизация на ДВИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#91244

Действительные числа $a,b,c$ удовлетворяют неравенствам $0< a< 1$ , $0< b< 1$ , $0< c< 1$ . Найдите наибольшее возможное значение выражения

∘4------ 4∘------ 4∘ ------ a(1− b)+ b(1− c)+ c(1− a).

Источники: ДВИ - 2023, вариант 238, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам хочется сверху оценить выражение, в котором присутствуют корни из произведений. А в каком известном неравенстве они тоже присутствуют?

Подсказка 2

Воспользуемся неравенством между средними арифметическим и геометрическим! Но как добиться корня не второй степени, а четвертой?

Подсказка 3

Применить его последовательно 2 раза!

Подсказка 4

Оцените при помощи неравенства между средними арифметическим и геометрическим ((x₁+ x₂)/2 + (x₃+ x₄)/2)/2

Показать ответ и решение

В силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим для любых положительных $x , x , x , x 1 2 3 4$ справедливо

x + x +x + x x1+x2+ x3+x4 √x-x-+ √x-x- √------- -1---24-3---4= --2---2--2--≥ --1-22---3-4≥ 4x1x2x3x4

Стало быть,

------ ------ ------ 4∘a(1− b)+ 4∘ b(1− c)+∘4c(1 − a)=

(∘ ----------- ∘ ----------- ∘ ----------) √2 4 a(1− b)⋅ 1⋅ 1+ 4b(1− c)⋅ 1⋅ 1 + 4c(1 − a⋅ 1 ⋅ 1 ≤ 2 2 2 2 2 2

√-( a+ (1− b)+ 1+ 1 b+ (1 − c)+ 1+ 1 c+ (1 − a)+ 1+ 1) √- 2 ------4---2--2+ ------4---2--2+ -------4--2--2 = 322

Равенство достагиается при $a= b= c= 1 2$

Ответ:

$3√2 2$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Оптимизация на ДВИ

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ