Тема . ДВИ по математике в МГУ

Оптимизация на ДВИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#91247

Положительные числа $a,b,c$ удовлетворяют соотношению

-1-- -1-- -1-- 1+ a + 1+ b + 1+ c = 1.

Найдите наибольшее возможное значение выражения

a b c 2+-a2 + 2+-b2 + 2+-c2.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 233, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

Пусть

-1-- -1-- --1- x = 1+ a, y = 1+ b, z = 1+ c.

Тогда $x +y +z = 1$ и

1− x 1− y 1− z a = -x--, b=-y--, c=--z-.

Теперь выразим каждую дробь из искомой суммы через новые переменные:

--a--= ---1−xx---= --x−-x2--= − 1+ --13x+-13--- 2+ a2 2+ (1−xx)2 3x2− 2x+ 1 3 3x2− 2x +1

Так как

( )2 3x2− 2x +1 =3 x− 1 + 2≥ 2, 3 3 3

то

1 1 − 1+ --3x+-3---≤− 1+ 1 (x+ 1) 1-= − 1+ 1 (x+ 1) 3 3x2− 2x +1 3 3 23 3 2

Складываем три неравенства и получаем оценку уже для всей суммы трёх дробей:

a b c 1 2-+a2 + 2+-b2 + 2+-c2-≤ −1+ 2(x+ y+ z+3)= −1+ 2= 1

Наибольшее значение достигается при $x= y = z = 13,$ то есть при $a= b= c= 2.$

Ответ: 1

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse