Тема . ДВИ по математике в МГУ

Оптимизация на ДВИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#91957

Числа $a,b,c$ положительны и удовлетворяют соотношению

a+ b+c= 1.

Найдите наименьшее возможное значение выражения

1+a-⋅ 1+-b⋅ 1+-c 1− a 1− b 1− c

Источники: ДВИ - 2024, вариант 241, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

Заменим все единицы на $a+ b+ c.$ Тогда

(a-+b)+(a+-c) (b-+a)+-(b+-c) (c+a)+-(c+-b) b+c ⋅ a+ c ⋅ a+ b

Обозначим знаменатели новыми неизвестными: $b+c= x,$ $a+ c= y,$ $a+ b=z.$ Получается

(a+-b)b++-(ca+c)⋅ (b+-aa)++(cb+c)⋅ (c+-aa)++(bc+b)= y-+xz ⋅ x+y-z⋅ x+z-y

По неравенству о средних

y+ z ≥2√yz, x+z ≥2√xz, x +y ≥2√xy

Подставив эту оценку в полученное выражение, получаем

y+-z⋅ x+-z⋅ x-+y ≥ 8xyz-= 8 x y z xyz

При $x= y = z$ достигается равенство, так как в этом случае достигается равенство в неравенстве о средних. Сделав обратную замену, получаем $b+c =a +c= a+ b,$ что эквивалентно $a= b= c.$ Так как $a +b+ c= 1,$ то $a= b= c= 1. 3$

Ответ: 8

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse